兩類問題情境新題型剖析

張磊磊

進入新課改后，各地紛紛出現了問題情境型新題型. 該題型背景新穎、設問巧妙，能有效考查學生的自學能力以及觀察分析、辨別是非、類別操作、抽象概括、數學歸納、語言表達的能力，構成近年中考題中一道亮麗風景. 該題型的具體模式是：“問題情境——建立模型——求解——解釋——應用”.下面舉例說明.

一、知識應用型

例1 理解：若p、q、m為整數，且三次方程x3+px2+qx+m=0有整數解c，則將c代入方程得：c3+pc2+qc+m=0，移項得：m=-c3-pc2-qc，即有：m=c×（-c2-pc-q），由于-c2-pc-q與c及m都是整數，所以c是m的因數.上述過程說明：整數系數方程x3+px2+qx+m=0的整數解只可能是m的因數.例如：方程x3+4x2+3x-2=0中-2的因數為±1和±2，將它們分別代入方程x3+4x2+3x-2=0進行驗證得：x=-2是該方程的整數解，-1、1、2不是方程的整數解.

解決問題：（1）根據上面的學習，請你確定方程x3+x2+5x+7=0的整數解只可能是哪幾個整數？（2）方程x3-2x2-4x+3=0是否有整數解？若有，請求出其整數解；若沒有，請說明理由.

解：（1）由閱讀理解可知：該方程如果有整數解，它只可能是7的因數，而7的因數只有：1、-1、7、-7這四個數.（2）該方程有整數解.方程的整數解只可能是3的因數，即1、-1、3、-3，將它們分別代入方程x3-2x2-4x+3=0進行驗證得：x=3是該方程的整數解.

點評：解閱讀新知識，應用新知識的閱讀理解題時，首先做到認真閱讀題目中介紹的新知識，包括定義、公式、表示方法及如何計算等，并且正確理解引進的新知識，讀懂范例的應用；其次，根據介紹的新知識、新方法進行運用，并與范例的運用進行比較，防止出錯.

二、方法模擬型

例2 實際問題：某學校共有18個教學班，每班的學生數都是40人.為了解學生課余時間上網情況，學校打算做一次抽樣調查，如果要確保全校抽取出來的學生中至少有10人在同一班級，那么全校最少需抽取多少名學生？

建立模型：為解決上面的“實際問題”，我們先建立并研究下面從口袋中摸球的數學模型：

在不透明的口袋中裝有紅、黃、白三種顏色的小球各20個（除顏色外完全相同），現要確保從口袋中隨機摸出的小球至少有10個是同色的，則最少需摸出多少個小球？

為了找到解決問題的辦法，我們可把上述問題簡單化：

（1）我們首先考慮最簡單的情況：即要確保從口袋中摸出的小球至少有2個是同色的，則最少需摸出多少個小球？

假若從袋中隨機摸出3個小球，它們的顏色可能會出現多種情況，其中最不利的情況就是它們的顏色各不相同，那么只需再從袋中摸出1個小球就可確保至少有2個小球同色，即最少需摸出小球的個數是：1+3=4（如圖1）；

（2）若要確保從口袋中摸出的小球至少有3個是同色的呢？

我們只需在（1）的基礎上，再從袋中摸出3個小球，就可確保至少有3個小球同色，即最少需摸出小球的個數是：1+3×2=7（如圖2）

（3）若要確保從口袋中摸出的小球至少有4個是同色的呢？

我們只需在（2）的基礎上，再從袋中摸出3個小球，就可確保至少有4個小球同色，即最少需摸出小球的個數是：1+3×3=10（如圖3）：

……

（10）若要確保從口袋中摸出的小球至少有10個是同色的呢？

我們只需在（9）的基礎上，再從袋中摸出3個小球，就可確保至少有10個小球同色，即最少需摸出小球的個數是：1+3×（10-1）=28（如圖4）

進入新課改后，各地紛紛出現了問題情境型新題型. 該題型背景新穎、設問巧妙，能有效考查學生的自學能力以及觀察分析、辨別是非、類別操作、抽象概括、數學歸納、語言表達的能力，構成近年中考題中一道亮麗風景. 該題型的具體模式是：“問題情境——建立模型——求解——解釋——應用”.下面舉例說明.

一、知識應用型

例1 理解：若p、q、m為整數，且三次方程x3+px2+qx+m=0有整數解c，則將c代入方程得：c3+pc2+qc+m=0，移項得：m=-c3-pc2-qc，即有：m=c×（-c2-pc-q），由于-c2-pc-q與c及m都是整數，所以c是m的因數.上述過程說明：整數系數方程x3+px2+qx+m=0的整數解只可能是m的因數.例如：方程x3+4x2+3x-2=0中-2的因數為±1和±2，將它們分別代入方程x3+4x2+3x-2=0進行驗證得：x=-2是該方程的整數解，-1、1、2不是方程的整數解.

解決問題：（1）根據上面的學習，請你確定方程x3+x2+5x+7=0的整數解只可能是哪幾個整數？（2）方程x3-2x2-4x+3=0是否有整數解？若有，請求出其整數解；若沒有，請說明理由.

解：（1）由閱讀理解可知：該方程如果有整數解，它只可能是7的因數，而7的因數只有：1、-1、7、-7這四個數.（2）該方程有整數解.方程的整數解只可能是3的因數，即1、-1、3、-3，將它們分別代入方程x3-2x2-4x+3=0進行驗證得：x=3是該方程的整數解.

點評：解閱讀新知識，應用新知識的閱讀理解題時，首先做到認真閱讀題目中介紹的新知識，包括定義、公式、表示方法及如何計算等，并且正確理解引進的新知識，讀懂范例的應用；其次，根據介紹的新知識、新方法進行運用，并與范例的運用進行比較，防止出錯.

二、方法模擬型

例2 實際問題：某學校共有18個教學班，每班的學生數都是40人.為了解學生課余時間上網情況，學校打算做一次抽樣調查，如果要確保全校抽取出來的學生中至少有10人在同一班級，那么全校最少需抽取多少名學生？

建立模型：為解決上面的“實際問題”，我們先建立并研究下面從口袋中摸球的數學模型：

在不透明的口袋中裝有紅、黃、白三種顏色的小球各20個（除顏色外完全相同），現要確保從口袋中隨機摸出的小球至少有10個是同色的，則最少需摸出多少個小球？

為了找到解決問題的辦法，我們可把上述問題簡單化：

（1）我們首先考慮最簡單的情況：即要確保從口袋中摸出的小球至少有2個是同色的，則最少需摸出多少個小球？

假若從袋中隨機摸出3個小球，它們的顏色可能會出現多種情況，其中最不利的情況就是它們的顏色各不相同，那么只需再從袋中摸出1個小球就可確保至少有2個小球同色，即最少需摸出小球的個數是：1+3=4（如圖1）；

（2）若要確保從口袋中摸出的小球至少有3個是同色的呢？

我們只需在（1）的基礎上，再從袋中摸出3個小球，就可確保至少有3個小球同色，即最少需摸出小球的個數是：1+3×2=7（如圖2）

（3）若要確保從口袋中摸出的小球至少有4個是同色的呢？

我們只需在（2）的基礎上，再從袋中摸出3個小球，就可確保至少有4個小球同色，即最少需摸出小球的個數是：1+3×3=10（如圖3）：

……

（10）若要確保從口袋中摸出的小球至少有10個是同色的呢？

我們只需在（9）的基礎上，再從袋中摸出3個小球，就可確保至少有10個小球同色，即最少需摸出小球的個數是：1+3×（10-1）=28（如圖4）

進入新課改后，各地紛紛出現了問題情境型新題型. 該題型背景新穎、設問巧妙，能有效考查學生的自學能力以及觀察分析、辨別是非、類別操作、抽象概括、數學歸納、語言表達的能力，構成近年中考題中一道亮麗風景. 該題型的具體模式是：“問題情境——建立模型——求解——解釋——應用”.下面舉例說明.

一、知識應用型

例1 理解：若p、q、m為整數，且三次方程x3+px2+qx+m=0有整數解c，則將c代入方程得：c3+pc2+qc+m=0，移項得：m=-c3-pc2-qc，即有：m=c×（-c2-pc-q），由于-c2-pc-q與c及m都是整數，所以c是m的因數.上述過程說明：整數系數方程x3+px2+qx+m=0的整數解只可能是m的因數.例如：方程x3+4x2+3x-2=0中-2的因數為±1和±2，將它們分別代入方程x3+4x2+3x-2=0進行驗證得：x=-2是該方程的整數解，-1、1、2不是方程的整數解.

解決問題：（1）根據上面的學習，請你確定方程x3+x2+5x+7=0的整數解只可能是哪幾個整數？（2）方程x3-2x2-4x+3=0是否有整數解？若有，請求出其整數解；若沒有，請說明理由.

解：（1）由閱讀理解可知：該方程如果有整數解，它只可能是7的因數，而7的因數只有：1、-1、7、-7這四個數.（2）該方程有整數解.方程的整數解只可能是3的因數，即1、-1、3、-3，將它們分別代入方程x3-2x2-4x+3=0進行驗證得：x=3是該方程的整數解.

點評：解閱讀新知識，應用新知識的閱讀理解題時，首先做到認真閱讀題目中介紹的新知識，包括定義、公式、表示方法及如何計算等，并且正確理解引進的新知識，讀懂范例的應用；其次，根據介紹的新知識、新方法進行運用，并與范例的運用進行比較，防止出錯.

二、方法模擬型

例2 實際問題：某學校共有18個教學班，每班的學生數都是40人.為了解學生課余時間上網情況，學校打算做一次抽樣調查，如果要確保全校抽取出來的學生中至少有10人在同一班級，那么全校最少需抽取多少名學生？

建立模型：為解決上面的“實際問題”，我們先建立并研究下面從口袋中摸球的數學模型：

在不透明的口袋中裝有紅、黃、白三種顏色的小球各20個（除顏色外完全相同），現要確保從口袋中隨機摸出的小球至少有10個是同色的，則最少需摸出多少個小球？

為了找到解決問題的辦法，我們可把上述問題簡單化：

（1）我們首先考慮最簡單的情況：即要確保從口袋中摸出的小球至少有2個是同色的，則最少需摸出多少個小球？

假若從袋中隨機摸出3個小球，它們的顏色可能會出現多種情況，其中最不利的情況就是它們的顏色各不相同，那么只需再從袋中摸出1個小球就可確保至少有2個小球同色，即最少需摸出小球的個數是：1+3=4（如圖1）；

（2）若要確保從口袋中摸出的小球至少有3個是同色的呢？

我們只需在（1）的基礎上，再從袋中摸出3個小球，就可確保至少有3個小球同色，即最少需摸出小球的個數是：1+3×2=7（如圖2）

（3）若要確保從口袋中摸出的小球至少有4個是同色的呢？

我們只需在（2）的基礎上，再從袋中摸出3個小球，就可確保至少有4個小球同色，即最少需摸出小球的個數是：1+3×3=10（如圖3）：

……

（10）若要確保從口袋中摸出的小球至少有10個是同色的呢？

我們只需在（9）的基礎上，再從袋中摸出3個小球，就可確保至少有10個小球同色，即最少需摸出小球的個數是：1+3×（10-1）=28（如圖4）