在比較中感受“標準”的價值

尊重生命，尊重規律，尊重差異是綠色課堂的基本理念。如何結合數學學科的特點，在概念教學中落實綠色課堂的基本理念，結合小學數學“倍概念”知識單元的教學，筆者進行了一些研究與思考。

一、問題的提出

“倍”概念是小學數學中一個基本的概念，建立正確的“倍”概念，是解答有關“倍”的應用題的基礎與關鍵。“倍”概念同時也是一個起始概念。這一概念的生長點是乘法的意義，下位知識是有關“倍”數的三類應用題。而除法、分數、百分數、比這些知識分散在不同的年級，這些知識都與“倍”概念有著千絲萬縷的聯系。

1.教師眼中的“倍”

怎樣建立“倍”概念？有的教師認為用“幾個幾”來幫助學生建立“倍”的概念。也有教師希望在“份”的基礎上建立“倍”概念。還有教師認為不管怎樣去講授，一定要讓學生建立一個正確的“倍”的模型，不要見倍就乘。不同年級的教師對“倍”的認識有很大的不同。

2.學生眼中的“倍”

沒學“倍”的學生對“倍”的概念很茫然。學完“倍”的學生認為倍就是乘。當問及二年級學生“倍”在解題過程中是否有用時，學生認為“有時候有用”。再追問生活中“倍”的問題時，能回答出來的學生少之又少。這就是學生眼里的“倍”，從學生話語中可以看出他們對“倍”概念的認識有所欠缺。

基于以上分析，筆者試圖從三個方面對“倍”概念知識教學進行研究：什么是“倍”，學生對“倍”的認知水平以及關于“倍”概念的教學對策。

二、什么是“倍”

1.“倍”的定義

“倍”的概念實質上體現了兩個量之間的比較關系，它是建立在乘法概念基礎上的，是在實際教學中從“幾個幾”逐步抽象出來的數學概念。“倍”的概念更多地應用在解決問題方面，在解決有關倍、分數、百分數、比的實際問題時強調的是比較關系。比較的關鍵是確定標準，將標準量看作一個單位，通過確定比較量有幾個單位或者是幾分之幾個單位來確定兩者之間的倍比關系。在比較中“比較量”除以“標準量”等于“比率”，這是比較量和標準量的基本數量關系。圍繞著這一關系還存在著兩個變式，一個是“標準量”乘“比率”等于“比較量”，另一個是“比較量”除以“比率”等于“標準量”。因此，筆者認為“倍”表示的是兩個數的比率，描述的是兩個數量間一種比的關系。帶著這樣的一些思考，筆者對人教版教材進行了梳理。

2.教材梳理

（1）“倍”的認識

“倍”的第一次呈現是在人教版二上第六單元“表內乘法（二）”，在學生學習完7的乘法口訣后學習“倍”。

“倍”對學生而言是抽象的、陌生的。“倍”的第一次呈現實際上是對乘法結構的一次處理，根據2個4根、3個4根與1個4根的關系，引出“一個數的幾倍”的含義。在這樣的基礎上去認識“倍”這個名詞，去理解“倍”的意思，學生是以乘法為認識的載體，是在“幾個幾”的基礎上理解和認識“倍”這個概念的。

“倍”的第二次呈現是在人教版二下學生學習了用7、8、9的乘法口訣求商后，安排了“求一個數是另一個數的幾倍”的除法應用題。

學生學習到這里時，已經開始認識到“一個數是另一個數的幾倍”的核心結構，是真正的兩個數量在相互比較，即用其中的一個量作為標準，另一個量包含了幾個標準量就是標準量的幾倍。

通過對前面教材的梳理，筆者有了一種設想，在后續的學習中會出現“求一倍量”的教學。但是人教版教材在二下安排了求一個數是另一個數的幾倍后，對“倍”的知識就不再研究了，教材上沒有專門設計“求一倍量”的例題，只是在三年級下安排了一道練習。

通過梳理蘇教版、西師版教材，筆者發現這兩個版本的教材也沒有專門設計“求一倍量”的例題。這是編寫者的有意為之。那么編寫者為什么這樣考慮呢，是不是這部分內容學生不用學就會了？為此筆者對學生的學習狀況展開了調查研究。

調研發現：單從解決問題的角度看，倍數關系和份總關系在結構上有很多相似之處，都是一乘兩除的模型。教材中對于份總關系的研究提供的素材很多，學生在遇到求一倍量的問題時可以借助份總關系的模型以及除法的意義和倍數的三量關系來解決。就解決問題的方法來說，學生沒有太大的困難。編者可能基于這個角度考慮，沒有將“求一倍量”的例題編入教材。

但筆者認為從比較關系的角度來看，加入“求一倍量”的學習很有必要。從高年級學生的情況來看，學生進入高年級后，學習分數、百分數、比等應用問題時就存在一定困難，錯誤較多，主要表現在找不準比較的“標準”，因為他們沒有掌握比較的方法。

（2）“倍”與分數、百分數、比的關系

“倍”概念的后續學習還有分數、百分數、比的概念，與“倍”的概念有著密切聯系。

分數既可以表示一個具體的數，也可以表示兩個數之間的關系。分數可以表示率也可以表示量。百分數與分數的區別就在于，百分數只表示兩個數之間的關系，并且只表示率。在小學階段，一般當商大于1時，習慣說被除數是除數的多少倍，而當商小于1時，習慣說被除數是除數的幾分之幾或百分之幾。比也是兩個數量之間進行比較，比的前項與后項之間存在著的關系就是倍數關系。因此，筆者認為分數、百分數、比都是對整數“倍”的擴展，其本質是“倍”的概念，所以“倍”概念的建立至關重要。

（3）不同版本“倍”的出現形式

在梳理教材的過程中筆者發現，人教、蘇教兩套不同版本教材中的“倍”都有四種外顯的形式，可以將它稱為對“倍”的認識的四種表征，即情境表征、圖形表征、語言表征和算式表征。學生可以從以上四種表征入手，學習“倍”的概念。

3.“倍”的核心思想

“倍”概念實質上體現了兩個量之間的比較關系，所以“比較”就是“倍”概念的核心思想。那么，什么是比較呢？通過收集查看相關的資料，可得出：比較是確定有關事物的共同點和不同點的思維方法。數學中的比較是多方面的，包括量的大小比較、結構和關系比較、數學性質比較等。在小學階段涉及的主要是量的大小比較、結構和關系的比較。

比較關系從知識點的角度說可以分為這樣幾個層次（見圖1）：首先是一年級出現的相差關系；之后是二年級開始出現的倍比關系（倍）；再往后是高年級出現的比率關系（分數、百分數、比）。

從比較的方法上來看，相差關系是兩個量之間在“比多比少”；倍比關系是兩個量之間用其中一個量作為標準，另一個量包含了幾個它就是它的幾倍。比較中的關鍵是要確定標準，其次就要把“比較量”按照“標準”去分。在高年級的比率關系中出現了比較量小于標準量的情況，這時也就出現了分率。只有當學生清楚地了解了比較的核心、比較的方法、比較的步驟時才能真正理解“倍”的概念，真正體會到比較中“標準”的價值。

三、學生認知情況研究

為了了解學生對“倍”概念的理解掌握情況，依據四種表征方式（情境表征、圖形表征、語言表征、算式表征），筆者對學生進行了前期的調研與分析。

通過對三年級學生的前測發現：

首先，學生對于“倍”這一概念的認識，在四種表征形式中對算式表征的使用的正確率最高，而用圖形表征的正確率最低。圖形本應是最具體生動的，最能夠直觀體現“倍”概念的形式，那為什么這種表征的正確率卻最低呢？這表明教師在平時的教學中把教學重點放在了解決問題的方法上，注重了對算式的訓練，而忽視了對“倍”的本質概念的教學。

其次，從情境表征向其他表征轉換的正確率比較高，而從其他表征返回到情境表征就比較困難了，學生的正確率較低。因此，教師要注重培養學生對多種表征方式之間的聯系的理解，從多種角度認識“倍概念”，達成對“倍”的深度認知。

最后，從學生的錯誤中不難發現，多數出錯的學生對于一倍數、倍數和幾倍數三量的關系不是很清楚，他們不能夠用正確的比較方法找出標準量和比較量，更別提用圖來表示兩個量之間的倍數關系。

綜上所述，“倍”的概念對于學生來說，是一個數學中的概念、抽象的概念，“倍”概念建立的過程缺乏與學生的生活經驗的聯系。調研中發現，在建立“倍”的概念過程中，數量及其他客觀因素影響了學生對“倍”概念的建立與理解；在現有教材的編排下建立“倍”的概念，容易使學生形成見“倍”就乘的思維定勢。在學習過程中，學生對“倍”的概念的掌握不夠牢固。學生建立和理解“倍”的概念，需要一個反復、持續的過程，因此對“倍”的再認識以及整個知識單元概念的建立需要常抓不懈。

四、思考與建議

根據學生的認知水平，我們該如何結合綠色課堂理念設計“倍的再認識”的課堂教學呢？

（1）通過對學生的前期調研與教材梳理，不難發現，學生的“會”其實不是真的“會”。學生并不是真正的對三量關系有感受，也不能正確地用圖示表示三量關系。所以，從比較關系的角度對“倍”這一抽象概念進行再認識是很有必要的。

（2）數據分析的結果表明，在教學設計時，應該充分利用多種表征之間的轉化，從多個角度幫助學生去認識“倍”，以達成他們對“倍”的深度理解。教師應該讓學生理解確定“標準”的重要性，并感受到“標準”就像一把尺子，用這把尺子去衡量“比較量”，從而深刻地理解三量關系，為今后學習分數、百分數等問題奠定扎實的基礎。

（3）結合學生生活經驗鞏固他們對“倍”的概念的理解。通過“倍”的再認識的教學，使學生能夠掌握一定的比較方法，在解決與“倍”有關的實際問題時能夠主動運用這種方法，在應用中真正感受“標準”的價值。

（作者單位：北京市石景山區銀河小學）

（責任編輯：馬贊 龔道娣）