通過“變異理論”，提升數學概念教學的有效性

針對小學生在數學概念學習中的特點，教師須在數學教學中抓住概念的本質特征，以引導學生對概念的全面把握。那么，怎樣才能提升概念教學的有效性呢？“變異理論”為我們提供了全新的視角。具體而言，大致概括為三方面。

一、學習源于系統的重復和變異

“變異理論”認為：一定數量的重復對于學習來說絕對必要。因此，為了認識某事物，就必須注意到該事物與其他事物的不同之處，即本質特征。為此，“變異理論”總結出了“變”與“不變”的四種范式：“對比”“類合”“分離”與“融合”。

例如在教學“分數的初步認識”這一內容時，“平均分”是分數的關鍵屬性，為了幫助學生認識“平均分”這個關鍵屬性，教師創設了學生喜聞樂見的教學情境（生日派對）導入新課，讓學生借助自己的生活經驗將一塊蛋糕分成兩份，得出“相等”和“不等”這兩種分法。通過兩種分法的對比，學生可認定“平均分”是最公平的分法，從而引出，為“分數”的學習奠定基礎。教師在學生用表示出半個蛋糕之后，通過“類和”這一范式幫助學生把學到的知識應用于其他教學情境中。例如讓學生借助圓形、長方形、等邊三角形和等腰梯形等學具，先動手折一折，再用斜線把它的涂上顏色，以此說明的意義。教師通過指導學生對比長方形的三種折法，進一步體會不管怎樣對折，只要把長方形平均分成兩份，每份便是這個長方形的。在學生充分感知的基礎上，為了幫助學生認識“分數”的“分母”這一關鍵屬性，教師運用“分離”這一范式，適時提出問題：你還想認識幾分之一？用手中的學具折一折，并用彩筆表示出來。就這樣，教師給予學生充分的空間和時間，讓學生自主創造“分數”，學生在動手折、說“分數”的意義和觀察板書的同時，會發現不管什么圖形，只要平均分成幾份，“分母”就是幾，“分母”表示的是分的份數。

接著，教師通過圖形的變換，不斷拓展學生對“分數”的認識，體會“分數”的“分母”和“分數”數值的關系。下列圖形中，涂色部分可以用幾分之一表示？

最后一幅圖運用“融合”這一范式，具有承上啟下的作用。承接幾分之一，又引出新知幾分之幾，通過“上圖中空白部分可用幾分之幾來表示？為什么分子不是1？”這兩個追問，分離出“分子”的屬性：“分子”表示所取的份數。就這樣，學生明白了“分子”“分母”的屬性，從而在頭腦中建立“分數”這一概念。

二、學習是遷移的“共同性”和“差異性”共同作用的結果

“變異理論”認為：沒有“共同性”就不會有遷移。其實，沒有“差異性”也不會有遷移。可見，“共同性”和“差異性”這二者同樣重要。我們能認識事物的特征，關鍵在于這些事物有些方面相同、有些方面不同，于是通過對比、區分，我們認識和理解了事物的特征。傳統意義上的概念性變式主要包括兩類：一類是改變概念的外延，稱為“概念變式”；另一類是改變一些易混淆概念外延的屬性，例如舉反例，稱為“非概念變式”。這兩類變式構成“概念性變式”，目的是讓學生獲得對概念的多角度的理解。因此，在教學“分數的初步認識”這一內容時，我設計了三道練習題。

其一，用分數表示下面各圖中的涂色部分，并讀一讀。

其二，按分數把下面各圖形涂上顏色。

其三，下面圖形中涂色部分可用分數表示嗎？

在這一鞏固練習中，我運用“融合”這一范式，將是否“平均分”“切分”的份數、所取的份數進行變換，為學生提供標準、非標準的正例，使學生抓住概念的本質屬性，以幫助學生形成準確的概念，最終使學生真正掌握概念。值得注意的是，第三道練習題需要學生添加輔助線，然后才能將圖形平均分，最終用恰當的分數表示。

三、學生的錯誤是最好的教學資源——反例

“變異理論”認為：學習者要先認識事物的相關屬性，然后把這些相關屬性聯系起來，才能準確地認識這個事物，這為我們理解正、反例在概念學習中的作用提供了獨特視角。例如在教學“分數的初步認識”這一內容時，我們通常會采用這樣的練習形式。

用下面的分數表示陰影部分對嗎？對的畫“√”，錯的畫“╳”。

前兩道題是判斷“平均分”這一關鍵屬性的反例，但第二小題往往會有學生將其判斷為正確。因此，在課堂教學中，教師可給學生創設寬廣的思維空間，引導學生多角度、全方位地審視“圖”與“數”之間的內在聯系，從而深化對“分數”的認識。

學生掌握數學概念不是一蹴而就的，因此，教師只有抓住數學概念的本質屬性，不斷加強“對比”“類合”“分離”與“融合”的變式練習，才能促進學生主動建構數學概念，促進學生思維的發展。

（作者單位：北京市海淀區東馬坊小學）

（責任編輯：萬馳 梁金）