深入鉆研教材讓導入課切實有效

摘 要：“平方差公式”的導入除教材的三種基本導入外，教師還可以鉆研教材，用發現導入法精心設計其他的導入，如故事導入、游戲導入、操作導入和實例導入等，使導入課回歸自然，讓學生順利實現新知識向舊知識的同化，經歷一次探究發現的活動過程，從而豐富學生的數學活動經驗，提高思維能力。

關鍵詞：鉆研教材；精心設計；導入課；切實有效

“平方差公式”在“乘法公式”中具有核心地位。導入時，教師在學生已有的認知基礎上，引領學生經歷公式的形成過程，即“觀察——歸納——猜想——驗證——證明——符號化”的發現過程。通過創設問題情境，培養觀察、發現、猜想、提出命題等基本能力，調動學生的學習興趣，激活學生的思維，激發學生的創新熱情。

“平方差公式”這部分內容人教版是這樣編排的：先設置一個探究欄目，安排了3個具有特殊形式的兩個多項式相乘的題目，讓學生運用已經學習的知識計算多項式的積，并探索其中所蘊涵的規律。然后再計算（a+b）（a-b），進而得出平方差公式。再后又設置一個思考欄目，讓學生利用算兩次原理得出圖形中的面積關系，通過圖形直觀說明平方差公式的合理性。

一、教材三種基本導入的思考

第一，為什么教材沒有通過讓學生直接計算（a+b）（a-b）導入，而是設計了一個探究欄目？

多項式乘以多項式法則和平方差公式是上下位關系，可以按照運算法則直接結算即可實現自然輕松地過渡，為什么不讓直接推理，經過分析，我覺得其目的是，讓學生在已有的認知基礎上經歷一次從發現公式到導出公式的全過程，即利用已經掌握的多項式乘以多項式法則得出三個算式的結果，在此基礎上讓學生經歷觀察（每個算式及其結果的特點）、比較（不同算式及其結果間的異同）、歸納（不同算式及其結果的共同特征）、猜想（可能具有的規律）、推理（論證猜想的結果）的過程.這個過程可以充分體現學生對數學知識的認識過程，其中，從多項式乘法到3個特殊算式的運算，是從一般到特殊的認識過程；從3個特殊算式的運算再到平方差公式，是從特殊到一般的認識過程；而從多項式乘法到平方差公式，又是從一般到特殊的認識過程（如圖）.整個過程經過多次“一般”與“特殊”的轉換，能夠充分體現學生參與數學活動的深度和廣度，是一種真正意義上的數學學習，而不只是簡單、機械地模仿與記憶。

第二，為什么教材沒有通過拼圖計算發現公式直接引入？而是把拼圖計算僅作公式的幾何解釋。

通過拼圖計算導入，起點低、落點高，數學活動展示充分，既可以直觀明了說明公式的幾何特征，又可以體現數形結合思想，教材沒有這樣安排我認為有以下兩個原因：一是《數學課程標準》對“平方差公式”的目標要求是“了解公式的幾何背景”，只要知道此公式可以通過幾何圖形的面積加以說明即可，并不要求達到“理解”或“掌握”的程度。因此，通過拼圖計算說明平方差公式不是本節課的重點，而數形結合思想也不是本節課的核心思想。二是學習公式的關鍵是理解公式的結構特征，而公式的結構特征僅從幾何圖形的面積關系是無法充分體現出來的，因為幾何圖形僅局限在正數范圍內，由此得出的公式要擴大其外延還要回到計算推理上來，這樣看來圖形導入有點多此一舉，而目前教材的編寫計算發現法導入可以避免其不足，要得出規律，需要對幾個題目進行反復觀察、比較、歸納、猜想，使得對公式的結構特征有更深刻的認識。

第三，為什么教材沒有從現實情境出發引入課題？

培養學生應用意識是新課程強調的重要目標之一，主要表現在：認識到現實生活中蘊含著大量的數學信息、數學在現實世界中具有廣泛的應用；面對實際問題時，能主動嘗試從數學的角度運用所學知識和方法尋求解決問題的策略；面對新的數學知識時，能主動地尋找其實際背景，并探索其應用價值。課程標準還要求數學教學要采用“問題情境——建立模型——解釋、應用與拓展”的模式展開。這使部分教師理解上出現偏差，好像每一節課都必須與實際應用建立聯系，挖空心思地尋找或者“創造”應用背景，致使一些應用題的設置或者毫無實際意義，或者超出學生的閱歷。我們知道，并不是所有的數學內容都需要從現實情境引入的，這要依據教學內容的特點和學生的學習規律而定。“平方差公式”是一種特殊形式，這節內容相對于學生已有認知結構中的多項式乘以多項式的知識來說，處于下位關系.而在下位學習中，新內容和原有認知結構的作用方式是同化，平方差公式可以直接和原數學認知結構中的多項式乘以多項式的知識相聯系，直接納入原有的認知結構之中，因此，本節課可以直接從數學問題本身引入課題，不需要從現實情境出發引入課題。

二、精心設計導入，回歸自然

從數學課程目標的要求、學生的認知結構、數學教育的培養方向來看，教材安排得最為合適。筆者認為，平方差公式是多項式乘以多項式的特殊形式，屬于下位學習，發現導入法可以順利實現新知識向舊知識的同化，讓學生經歷一次探究發現的活動過程，可以進一步豐富學生的數學活動經驗，提高學生的思維能力。

（一）故事導入

1.創設情境，快樂啟航

從前，有一個狡猾的莊園主，把一塊邊長為a米的正方形土地租給張老漢種植。第二年，他對張老漢說：“我把這塊地的一邊減少5米，相鄰的另一邊增加5米，繼續租給你，租金不變，你也沒有吃虧，你看如何？”張老漢一聽，覺得好像沒有吃虧，就答應道：“好吧.”回到家中，他把這事和鄰居們一講，大家都說：“張老漢，你吃虧了！”張老漢非常吃驚.你知道張老漢是否吃虧了嗎？學習了本節課的知識，你將能輕松地解決.

2.自主探索，獲取新知

問題1：利用多項式的乘法法則，計算下面各題。再觀察、分析這組題目左邊的算式和右邊的結果，你能從中發現什么規律？（讓學生進行小組討論）

（1）（a+b）（m+n）=

（2）（x+3）（x+4）=

（3）（y+3）（y-2）=

（4）（a+5）（a-5）=

（5）（p+q）（p-q）=

（6）（2x+1）（2x-1）=

問題2：通過這些題目的計算，你發現了什么？

（二）游戲導入

1.創設情境，誘發主動

教師出示幻燈片：①寫出你最喜歡的個位數；②計算100與這個數的和乘以100與這個數的差的積。

師：同學們計算得很投入，你們只要告訴我你寫出的個位數，我就能馬上說出計算結果，你們信嗎？

生：我最喜歡的個位數字是4。

師：你算出的答案是9984，（100+4）（100-4）=9984。

生：我最喜歡的數字是8。

師：你算的答案是9936，（100+8）（100-8）=9936。

師：神奇嗎？想學這招嗎？學完這節課.你肯定會明白其中的奧妙所在。

2.動手操作

（1）現有兩個數，不知其大小，請你隨意用兩個字母來表示這兩個數；（2）請把這兩個數的和與差分別表示出來.這兩個式子是多項式還是單項式？（3）請將所得的和與差相乘并化簡；（4）請思考：兩個數的和與這兩個數的差的乘積等于什么？（讓學生用自己的語言描述出來）

（三）實例導入

1.創設情境，導入新課

小明去商店買了單價是9.8元/千克的糖果10.2千克，售貨員剛拿起計算器.小明就說出應付99.96元。這與售貨員計算出的結果一樣。售貨員很驚訝地說：“你真是個神童，怎么算得這么快？”小明說：“過獎了，我用了剛學過的一個數學公式。”

你想知道小明用的是一個什么樣的公式嗎？下面我們一起來學習研究。

2.自主探究，歸納發現

師：我們已經學過了多項式的乘法，兩個二項式相乘。在合并同類項前有幾項？

生：4項。

師：合并同類項后，積可能是3項嗎？積可能是2項嗎？

生：可能。

教師出示下列習題：

（1）（x+1）（x-1）=

（2）（m+2）（m-2）=

（3）（2x+1）（2x-1）=

（4）（x+5y）（x-5y）=

（四）操作導入

問題1：你能計算下面圖形（如圖1）的面積嗎？你能用圖示法展示上述計算過程嗎？

（101×99=1002-12）

問題2：將長為（a+b）、寬為（a-b）的長方形，剪下寬為b的長方形條，拼成有空缺的正方形（如圖2），并請用等式表示你拼成圖形的面積關系.

（（a+b）（a-b）=a2-b2）

問題3：此等式中的a、b應滿足什么條件？對于任意的a、b，此等式成立嗎？

（①a>b>0；②此式可作為公式，計算過程可省）

提供足夠數量、可供歸納的素材，并具有一定的“原生態”的特征，讓學生經歷自然的篩選、歸納過程。

只有提供足夠數量、目標明確的素材，學生才容易發現規律，產生歸納的心理需求，自發地進行歸納。人教版數學課本僅提供三個題目，素材明顯不足，而且僅有正例沒有反例，缺乏“襯托”，有失自然，需要增加反例重新布局。探究欄目可修改如下：

計算下列多項式的積，你能發現什么規律？

（1）（a+b）（m+n）

（2）（x+p）（x+q）

（3）（a+b）（a+b）

（4）（x+1）（x-1）

（5）（m+2）（m-2）

（6）（2x+1）（2x-1）

（7）（a+3b）（a-3b）

（8）（3x+2y）（3x-2y）

問題（1）是基本格式，以復習多項式乘法法則；問題（2）是一個重要的典型結構，映射后續的一元二次方程和一元二次函數；問題（3）一來與平方差公式作陪襯，二來為完全平方公式打基礎，通過計算繁簡比較，（4）到（8）這5個正例特征足以從前三個反例中顯現出來。由于可供歸納的素材較多，學生很容易歸納出平方差公式，并自覺驗證、運用平方差公式。學生先經過“炳雜”的計算，后享受“發現”的樂趣，經歷了一個擬真的“觀察比較——歸納概括——猜想驗證——推理應用”的“再創造”過程。

平方差公式是多項式乘以多項式的特殊形式，教師通過鉆研教材，用發現導入法精心設計，使導入課更切實有效，就是讓學生順利實現新知識向舊知識的同化，經歷一次探究發現的活動過程，進一步豐富學生的數學活動經驗，提高學生的思維能力。

[參 考 文 獻]

[1]鄔云德.初中數學導入性教學的理論與實踐[J].數學教學研究.2012（12）.

[2]何昆生.初中數學導入技巧與藝術案例[J].中學教學參考.2012（19）.

（責任編輯：張華偉）