立足起點 順應建模

《長方形與正方形的面積計算》是學生理解了面積的含義和面積單位，學會了應用面積單位直接度量面積的基礎上學習的，是學生第一次學習平面圖形的面積計算（由度量演進到計算），長方形和正方形面積計算公式又是推導其他平面圖形面積公式的基礎，它提供了度量和計算面積的基本原理和方法。為了讓課堂教學更具有針對性，教學前我對學生進行了前測，以便立足起點對學生學習進行有效的指導，引導學生建立長方形與正方形面積計算模型。

一、教學前測

從前測的結果統計與分析，可以把握學生相關的學習起點：

經驗起點：通過前期面積與面積單位的學習，學生明顯具備“用面積單位來度量圖形的面積”這一學習經驗，已經占到近75%，為本節課面積的計算公式學習打下扎實的經驗基礎。

知識起點：絕大多數同學已經明確面積的意義，知道面積單位的數量對應面積的大小。雖然有近33%的同學會通過公式來計算長方形的面積，但從后續的訪談來看，面積為什么可以通過“長×寬”來計算，學生是不明確的。

心理起點：根據范·希爾夫婦關于幾何思維水平的理論，三年級的孩子的幾何思維水平處于“直觀”階段，不具備描述、分析能力，需要教師在提供信息的基礎上加強定向指導。

二、教學對策

通過本節課的學習，要建立長方形與正方形面積計算的數學模型（長×寬），使學生由一維空間進入二維空間。

1.通過操作、想象，觀察并歸納得出長方形面積=長×寬，長表示一行鋪幾個面積單位，寬表示可以鋪幾行。

2.通過多媒體演示及想象相結合的方式，讓學生感受長和寬長度的變化會引起長方形面積變化，注重學生二維觀念的培養與建構。

三、教學實踐

（一）動手操作，初步感受面積的大小與長、寬的長度有關

1.出示如圖1長方形，你知道它的面積嗎？

2.學生獨立思考。

3.在學生回答的基礎上，引導學生用“1平方厘米”的面積單位去鋪（度量）。

4.學生動手操作。

5.反饋兩種方案。

6.對兩種方案進行溝通，獲得結論。

（二）動腦想象，感受面積的變化是由于長、寬的變化所引起的

1.寬不變長變，引起長方形面積變化

（1）課件將長方形由原來的5厘米延長到6厘米

師：請大家仔細觀察：你發現了什么？

生1：寬沒變，長變了，面積也變大了。

師：大了多少，大在哪里？

生2：大了3平方厘米，因為增加了右邊的一列。

師：現在的面積是多少？

生3：6×3=18平方厘米。

師：你這里的6、3分別表示什么？為什么每行有6個，有3行？

生3：因為長是6厘米說明可以每行鋪6個1平方厘米的面積單位，可以鋪這樣的3行。（見圖3）

師：大家真會學習，我們沒有動手鋪，但我們可以在腦海里鋪也能解決這個問題。

（2）師：想象一下，如果寬不變，長縮短1厘米，面積變大還是變小了呢？

生4：變小了，小了1列，也就是3平方厘米。

生5：現在的面積是4×3=12平方厘米。（見圖4）

2.長不變寬變，引起長方形面積變化

（1）課件出示原圖

剛才我們研究了在寬不變的情況下，長的變化引起了長方形面積的變化?，F在我們再來研究長不變，寬的變化會不會引起長方形面積的變化，想一想？

①長不變，寬延長1厘米，面積會怎么變化，為什么？

②長不變，寬縮短1厘米，面積會怎么變化，為什么？

根據學生的回答出示相關的圖示來檢驗。（見圖5、圖6）

四、總結歸納，構建模型

師：剛才我們通過操作和想象，驗證了長方形的面積與長、寬有關。

師：看到長想到什么？看到寬想到什么？

生1：長就代表一行可以鋪幾個小正方形，寬就代表可以鋪幾行，也就是幾個幾的問題。

生2：在寬不變時，長越長，面積就越大；長越短，面積就越小。

生3：在長不變時，寬越大，面積就越大；寬越短，面積就越小。

師：長方形的面積大小是由長與寬的長度來決定的，且長方形的面積等長×寬。

五、應用模型，解決問題

1.求右圖長方形的面積。

師：怎么計算？

生1：5×4=20（平方厘米）

師：為什么可以這樣算？

生2：因為長方形的面積計算公式就是長×寬。

師：如果我要將長方形的面積減少8平方厘米，可以怎樣操作？

生3：寬不變，將長縮短2厘米，就能減少兩列，也就是8平方厘米。

師：如果我要將長方形的面積增加5平方厘米，可以怎樣操作？

生4：長不變，將寬增加1厘米，就能增加5平方厘米，也就一行。

師：這時候，長方形已經變化成為正方形了，那么正方形的面積怎么計算呢？

……

2.在方格紙上畫面積為6平方厘米的小長方形。你能畫幾個？

（結合學生作品）

師：你發現了什么？

生1：面積相等，大小不一樣。

師：在你所畫圖形的基礎上畫面積為24平方厘米的長方形，你打算怎么畫？

結合學生回答，分別反饋：長不變，寬變；寬不變，長變；和長、寬都變三種情況。

六、教學思考

《義務教育數學課程標準（2011年版）》也指出，數學教學活動必須建立在學生認知發展水平和已有的知識經驗基礎之上。因此，數學教學活動必須把握好學生的學習起點，在學生原有認知水平上組織開展學習活動。本節課我通過前測的方式，把握了學生的學習起點，并基于起點設計了一系列的教學過程，引導學生親身經歷將實際問題抽象成數學模型的過程，發展空間觀念。

1.由操作到想象，建立數學模型

從前測的結果來看，學生通過對面積與面積單位的學習及練習，已經具備了用面積單位去度量圖形面積的意識和操作經驗。因此，要讓學生從實際問題中跳出來，形成一定的抽象概括能力。教學中，對于長方形面積公式的推導，筆者先是以“鋪”的操作為基礎，通過鋪的過程，讓學生明確長就表示一行有幾個格子（面積單位），寬表示有這樣的幾行，初步感受長方形的面積與長、寬的長度有關。因為學生課前已經有了相關的經驗基礎，所以本節課筆者又安排了想象的設計。通過對“寬不變，長增加，引起長方形面積增加”環節的直觀演示，進而讓學生想象寬不變，長縮短及長不變、寬變，長方形面積相應變化的情形。借助學生的想象與表達，讓學生感受到長、寬的變化會引起長方形面積的變化，從而獲得長方形面積計算的模型：長×寬。

2.由靜態到動態，建立二維觀念

圖形與幾何領域的教學，時刻都不能忽略對學生空間觀念的培養。在學習了線段、周長等相關知識之后，學生的一維觀念已經建立。而面積的學習，將一維的觀念拓展到了二維，那么如何幫助學生建立這種二維觀念？針對學生的幾何思維水平，筆者設計兩個環節來輔助。在新授的環節中，借助媒體直觀地演示，依次改變長方形的長、寬，將長方形面積相應的變化過程動態地呈現出來，讓學生直觀地感受并理清長方形橫向與縱向的變化過程，從運動的角度幫助學生初步建構二維觀念；在練習鞏固的環節中，筆者先通過讓學生思考要將長方形面積增大或減少該如何操作，讓學生自己判斷并選擇變化長或寬，從而在分析、選擇的過程中建立橫向與縱向兩個維度。后又以“方格”為依托，讓學生嘗試增加長、增加寬、或者長、寬同時增加的方法將原圖面積擴大4倍。從操作的角度幫助學生感悟到由于長、寬長度的變化，引起的長方形面積的變化，幫助學生建立二維觀念。令人欣慰的是，在課堂小結當中，果真有學生提到“要改變長方形的面積，可能通過改變長、改變寬甚至同時改變長與寬的方式來實現”，這節課的空間觀念培養可見一斑。

小學數學的課堂教學如何讓學生的學習富有挑戰性，在傳統教學的基礎上體現出更多的生機與活力，必須立足學生的起點，要準確把握學生的起點，教學前測是行之有效的方法之一。依據前測，發現起點；立足起點，創新設計，可以使我們的課堂教學達到畫龍點睛的效果。

（作者單位 浙江省余姚市東風小學教育集團）

編輯 謝尾合