一類特殊數列通項的普遍求法的研究

現階段高中數學中，數列一直是高考的必考點，而數列解答題中出現的第一個問題一般就是求數列通項.求數列通項大致有三種情況：一是根據已知數列的前幾項歸納出該數列的通項，二是利用等差或等比數列的性質求通項，三是已知數列前幾項求通項及

利用遞推式求通項.其中第三種情況比較復雜，但應用也較廣.本文主要對已知遞推式求通項進行一下探討.

一、遞推式化成類似an-an-1=f（n）的形式.這種形式可以用累加法來求通項

例2.設{an}是首項為1的正項數列，且（n+1）an+12-nan2+an+1an=0，求該數列的通項公式.

解析：給出的遞推式是關于an，an+1的二次齊次式，我們可以采用因式分解，找出an，an+1的直接關系.上式因式分解可得：

（an+1+an）[（n+1）an+1-nan]=0

這種方法關鍵是如何找出輔助數列，這時往往要用待定系數法來求輔助數列，當然這得對給出的遞推式進行觀察分析，找出輔助數列的特征，大致有以下幾種情形.

1.an+1=pan+q型（p，q為常數，且p不為0）.

觀察其特征可引入一等比數列，設an+1=pan+q可變形為an+1-t=p（an-1）.

例3.{an}中，a1=1，an=3an-1+2（n>1），求an.

解析：設an-t=3（an-1+1），∴t=-1∴遞推式可化為an+1=3（an-1+1）

∴{an+1}是等比數列，其首項為a1+1=2，公比為3，則不難求出通項公式.

3.an+2=pan+1+qan型.先用待定系數法，an+2=pan+1+qan可變形為an+2-man+1=t（an+1-man），即an+2=t（m+t）an+1-mtan，∴m+t=pmt=-q，求出m，t，從而{an}是公比為t的等比數列，將其轉化為類型2，進一步轉化為類型1.

例5.已知數列{an}中，Sn是它的前n項和，且Sn+1=4an+2，求an.

解析：本題給出的不是遞推式，但由于Sn的表達式可得出式a2=S2-S1=5，an+2=4an+1-4an，設an+2-man+1=t（an+1-man），即有m+t=4mt=4

（作者單位 陜西省興平市南郊中學）