幾何證明中培養學生數學寫作能力的理論闡釋

有過幾何學習經驗的教師和學生都有這么一種感覺，即幾何證明既像是數學的事，又像是語文的事。說是數學的事固然很好理解，說是語文的事是因為在幾何證明的過程中，離不開用邏輯嚴密的語言來表達證明過程。在實際教學中，有時會出現即使數學思路再好，但由于語言表達能力不強、表達不到位，最終出現詞不達意的情形。面對這樣的情況，催生了我們另外的一個想法：在幾何證明的教學中，不能只教幾何概念與規律，也要大力滲透學生表達能力的培養。由于這種表達最后是通過文字、符號寫出來的，因此也可以說這種表達能力就是數學寫作能力。

談到數學教學中的寫作，筆者想到著名哲學大師培根的一句話，即“寫作使人精確”，意思是說在寫作的過程中，由于寫作者要將自己的思維、思路用文字符號表達出來，因此寫作的過程，就是復雜的思維加工過程，而在這個過程中，人的思維會由模糊走向清晰，因而就有了寫作使人精確的說法。幾何證明講究的是用最簡潔的語言去完成一個邏輯嚴密、絲絲入扣的證明過程，寫作是基本功，精確是最終目的。因此，從這個角度來看，在幾何證明的教學中加強數學寫作能力的培養也是符合幾何教學的規律的。

有鑒于此，筆者在實際教學中給予幾何證明以更多的注意，在實踐的基礎上形成了一些理論思考。在此，將自己的理論思考用文字表達出來，以期與同行們分享。

一、建立幾何圖景，數學寫作能力培養的基礎

幾何證明的重要特點在于學生頭腦中要有一個清晰的幾何圖景——當然，這個清晰是需要一個過程的，我們所說的清晰的幾何圖景是指思維加工的最終結果。而這個幾何圖景由模糊變清晰的過程，往往就顯示了學生在面對幾何證明題時的思維加工過程。

幾何證明最基本的模式就是給出已知條件，然后讓學生去求解或求證。從學習心理學的角度來看，這實際上是給了學生問題解決的起點，要學生通過自己的思維加工，獲得由已知到求解與求證之間的證明思路。思路往往是思維的體現，但作為解題尤其是考試，最終是要通過文字將思維過程表達出來的，根據學習心理學的研究，這里存在一個思維向文字轉換，而從經驗的角度來看，這正是寫作的過程。幾何圖景在這一過程中所起的是一個中轉站的作用，即學生在思維加工的過程中，會自然產生一個幾何圖景，這個圖景將成為學生寫出證明過程的有效載體。

以證明三角形全等為例。證明三角形全等有多種方法，其中，“三條對應邊相等的三角形是全等三角形”（SSS）是比較基本的。當學生在運用這一規律進行證明時，學生頭腦中的幾何圖景是什么呢？根據我們的調查以及相關的理論學習，學生頭腦中此時的幾何圖景就是兩個對應邊相應的三角形，而且它們能夠完全重合（即全等）。有了這一幾何圖景之后，學生再去進行寫作就方便多了。而如果學生頭腦中沒有幾何圖景或者幾何圖景不清晰，他們的證明過程就會變得很困難，自然筆下也就無物了。

二、圖形文字共析，數學寫作能力培養的途徑

幾何證明中的寫作，伴隨的是一個文字與圖形的一一對應。在日常的幾何證明教學中，我們讓學生做得比較多的是努力寫出證明過程，而在這一現象背后的學生思維是什么呢？正是學生對照著幾何圖形，利用所學的幾何規律進行邏輯推理，將自己的思路變成文字的過程。顯然，幾何證明的主要目標有兩個：一是圖形，二是文字。因此，我們可以通過圖文共析，來培養學生的寫作能力。

如一道普通的幾何證明題：在正方形ABCD中，點P是AB的中點；連接DP，并過B點作BE⊥DP的延長線于E，連接AE，過點A作AF⊥AE交DP于點F，連接BF。求證：PF=EP+EB。

由于篇幅所限，筆者這里就不呈現具體的證明過程了。對這一題能夠有效證明的師生會有一種共同的感覺，即在此題的證明過程中，基于圖形進行分析，明確直角三角形AFD與AEB全等，并利用其中的其他等量關系，即可完成證明。對于相當一部分學生來說，要將這些關系用精確的語言表達出來，且不出現歧義、空缺，有時并不是一件輕而易舉的事情。筆者的經驗是，對于初學者，可以引導他們先在草稿紙上完成思路（有興趣的老師可以結合思維導圖來完成），其中要特別強調每一個步驟與上一步驟是否關系嚴密，有沒有漏寫的，有沒有錯寫的。必要的時候，還可以提供部分寫作不嚴密的學生的寫作過程作為范例進行剖析。最簡單也是最重要的，就是幾何證明中的“因為……所以……”（當然實際過程中用的是符號），“因為”后面跟哪些條件，這些“因為”為什么會成立，“所以”后面寫哪些結果，都是非常嚴謹的，需要在培養過程中下大力氣。這樣通過正面引導和錯例剖析，可以讓學生形成一個好的推理意識，從而使得基于幾何證明的數學寫作能夠形成較強的能力。

三、教師點撥提升，數學寫作能力提升的關鍵

數學寫作能力的形成與一般能力不同，考慮到其在學生學習過程中的時效性、重要性，我們認為這種能力的培養離不開教師的點撥提升，也就是說不能完全依靠學生的自悟來自然形成。而事實上，我們在數學課堂上是很少進行有意識的寫作能力的培養的，因此學生除了在語文課堂上能夠得到寫作訓練之外，針對數學特點的寫作培訓相對就顯得比較少。而根據我們的觀察研究，很多學生能夠學好包括語文在內的所謂文科，而對數學在內的理科學習則會存在困難。其中的重要原因就是沒有結合學生的數學思維進行數學寫作能力的培養。

也許有人認為數學與寫作沒有關系，但在我們看來這卻犯了學科至上主義的錯誤。作為學習，數學與其他學科存在許多共通的地方，尤其是寫作本身就是思維的產物，而數學學科則是思維的體操，因此理論上說數學與寫作有著密切的關系。而在我們的實踐中，當我們通過培養學生的數學寫作能力，以促進學生的數學學習時，效果也是比較明顯的。

當然，這里要特別注意的是，數學寫作不能異化為寫作任務的完成，否則對于學生來說就是一個災難。也就是說，在數學寫作能力培養的過程中，興趣仍然是第一位的，無論多好的培養目的，離開了興趣幾乎將一事無成。我們的經驗是，針對學生在包括幾何證明在內的數學學習中容易出現的問題，分析他們思維上存在的困難并通過多種方式幫他們克服這種困難。當他們在思維上覺得順了的時候，就要通過寫作來體現這種思維的結果。事實證明，這種由內而外、由隱而顯的方式，可以促進學生對數學知識掌握的清晰化，可以促進學生的緘默知識變成顯性知識，對于數學學習而言，價值是非常大的。

（江蘇省如皋市磨頭鎮初級中學）