通過創新培養學生的“全能力”

摘 要：考查學生的數學能力是多方位多層面的，可稱之為“全能力”。代數和幾何的綜合題主要考查學生的基本運算能力、思維能力和空間想象能力。而中考試卷中考查學生“全能力”的必考題，也是學生數學學習中的難點。所以，教師在初三階段應將學生“全能力”的訓練作為教學關注的重要內容。

關鍵詞： 一題多解；討論研究；全能力

所謂“全能力”，從數學角度看，包括洞察玄機的觀察力、新舊知識整合的融通力、細致縝密的思考力、路徑選擇的調整力以及克難攻堅的驅動力、不言放棄的堅持力、踏踏實實的執行力……進入初三復習階段后，對于一些綜合性較強的題目學生不太適應，但是綜合性的題目是中考考查學生數學能力的必有考題。這樣的考題不僅考查的知識點多、知識面廣，而且往往將代數和幾何知識緊密結合，對學生而言是個很大的考驗，要求學生有較高的基礎知識水平和較強的運算能力、邏輯思維能力及空間想象能力。鑒于此，本人通過創新，在復習開始有意識地每過一段時期布置一道“研究題”，讓全班廣泛交流，對一題多解的研究收到了不錯的效果。下面，我就一道改編的中考題展示學生解決這道題的成果，并談談在實施過程中的想法。

習題：如圖1，直線y=x+3與x軸、y軸分別交于點A、B，點C（0，n）是y軸上一點，把坐標平面面積沿直線AC折疊，使點B剛好落在x軸上，請求出點C的坐標。

分析：（1）這道題是在平面直角坐標系背景下的問題，考查學生一次函數和相似、勾股定理，軸對稱變換等的綜合解題能力，是一道典型的代數和幾何的綜合題。這又是一道近幾年來比較熱點的操作變換題，要求學生能運用數學中觀察、試驗、歸納、演繹、類比、分析、綜合、抽象、概括等常用的思維方法，并能結合題目選擇恰當的解題思路，使用有效的解題方法。

（2）平面直角坐標系中常見著眼點是求解出函數與圖像的關系、直線與x軸、y軸的交點及題中的特殊點，因此根據直線解析式首先求出了點A 、B的坐標A（4，0）、B（0，3），并通過解直角三角形Rt△AOB求得AB=5。

（3）根據折疊（軸對稱變換）中的變與不變找到線段之間的聯系，求得關鍵點和線段的長度，假設折疊后點B剛好落在x軸上的點B處，要求得的關鍵點和線段的長度即為點B'的坐標和線段B'O的長度。易得B'（-1，0），B'O=1。

下面給大家展示學生的四種解題方法：

解法一：如圖2，易求點A、B的坐標A（4，0）、B（0，3）。

在Rt△AOB中由勾股定理求得AB==5。

設折疊后點B與B'重合，則AB'=AB=5，∴B'O=1=1。

又沿直線AC折疊后B'C=BC=3-n，在Rt△B'OC中由勾股定理得B'O2+CO2=B'C2，∴12+n2=（3-n）2，解得n=，∴C（0，）。

生自述：這是一道有關平面直角坐標系內的問題，我想可以構造直角三角形求解點的坐標，按照這樣的想法一步步演算、證明得到了解法。從這道題給出的已知條件，先求出圖中標示的點A、B的坐標，和折疊后落在x軸上點B'的坐標。因為是在平面直角坐標系中，一定會構造出直角三角形。連接CB'，則構造了Rt△B'OC，再根據折疊的軸對稱的性質可得到B'C=BC=3-n，這樣就可以解Rt△B'OC，由勾股定理得出方程解，從求出了點CBIMnyiXwUhIJksqF0ZGG7pDgwuN5FnPv9PnBVyG+SKA=的坐標。

解法二：如圖3，由折疊知AC為∠BAO的角平分線，過點C作CH⊥AB，垂足為H，∵CO⊥AO，∴CH=CO=n。

由直線解析式：y=x+3易求點A、B的坐標A（4，0）、B（0，3），在Rt△AOB中由勾股定理求得AB==5。

∵S△ABO=S△ABC+S△ACO，∴AO·BO=CO·AO+CH·AB。

∴4×3=4n+5n，解得n=， ∴C（0，）。

生自述：我是從折疊的軸對稱變換角度去尋求答案的，由軸對稱的性質重疊的部分數量相等，所以重疊角角相等，那么折痕AC為∠BAO的角平分線，由點C恰在角平分線上構造角平分線的基本圖形，過點C作CH⊥AB，這樣利用三角形的等面積變換求解出高CO的長，從而求出了點C的坐標。

解法三：如圖4，求點A、B的坐標A（4，0）、B（0，3）。

在Rt△AOB中，由勾股定理求得AB==5，設折疊后點B與B'重合，則AB'=AB=5，∴B'O=1。

在Rt△AOB中，由勾股定理求得BB'==，接BB'，則由折疊知直線AC為線段BB'的垂直平分線。

∴BG=BB'=，∠BGC=∠B'OB=90°。

∵∠GBC=∠B'BO（公共角），∴△BGC∽△BOB'，∴=，即=，解得n=，∴C（0，）。

生自述：我是從折疊中折痕是對應點所連線段的垂直平分線角度去思考這個問題的。連接BB'，則直線AC為線段BB'的垂直平分線，構造出了一對相似三角形△BGC∽△BOB'，然后想辦法求解出比例式中兩對對應邊中三條邊的長度，因為已知了直線解析式，所以容易求解兩個直角三角形，從而求出了點C的坐標。

解法四：如圖5，設折疊后點B與B'重合，則AB'=AB=5，

連接B'C，由折疊知B'C=BC=3-n，∠CB'O=∠OBA。

在平面直角坐標系內∠B'OC=∠BOA=90°，∴△B'OC∽△BOA。

∴=，即=，解得n=，∴C（0，）。

生自述：學習了《相似三角形》后，很多時候用相似三角形的知識解題會減化計算，特別在平面直角坐標系中構造相似的直角三角形比較簡單。所以連接B'C后，構造了直角三角形由折疊知對應角相等∠CB'O=∠OBA，對應邊相等B'C=BC=3-n，又∠B'OC=∠BOA=90°，易證△B'OC∽△BOA，由直線解析式易求點A、B及點B'的坐標。

學生在展示了各自的解法后展開了熱烈的探討，一致認為從最優化的角度來說顯然解法二和解法四較簡單靈活。在此契機上師生之間、生生之間做了一次深度的探討，對每種解法都做了深刻的分析，并對各種解法取長補短，把勾股定理、軸對稱、相似和一次函數的綜合應用做了歸納總結。從學生展示的這四種方法來看，學生已熟悉了平面直角坐標系中一類解題的基本規則和常用的方法，掌握了這類折疊題的著眼點，并能有創造性地整合勾股定理、相似、垂直平分線和函數的知識，訓練這類題目的主要目的是要讓學生在解題過程中相互學習，積極研究探討找到解決一類問題的最優化的解題策略。

經過一段時間的試驗后，本人覺得提高學生“全能力”要注意以下幾點：

（1）訓練學生熟練掌握數學基礎知識，不斷積累數學解題技巧；

（2）引導學生熟悉常見的特征圖形，多發現函數圖像中的幾何圖形或可以構造的幾何圖形；

（3）幫助學生熟悉解題的常見著眼點，常用輔助線作法，把問題化大為小，各個擊破，從而解決問題；

（4）促進學生研究“怎樣解”“為什么這么解”，及時歸結總結，促進總結反思，整合重建認知結構，優化解題策略。

（江蘇省南通市第二中學）