加強換元法的應用培養(yǎng)學生創(chuàng)新思維

摘 要：中學數(shù)學是從算術(shù)過渡到代數(shù)知識、幾何知識的重要階段，涉及內(nèi)容多、定理多、概念雜。理清數(shù)學概念是學好數(shù)學的關(guān)鍵和基礎(chǔ)，鉆研透一種概念及解法，并加以延伸、理解和實際運用是提高數(shù)學能力的重要前提。而加強換元法的應用，可以提高學生的解題能力、培養(yǎng)學生創(chuàng)新思維。

關(guān)鍵詞：換元法；數(shù)學；教學；應用

新課程標準指出“改變觀念，解放思想”是改革課堂教學的思想基礎(chǔ)。同樣，數(shù)學問題的解決主要得力于思維方法的選擇，比方說，如果把一些數(shù)學問題稍作變化，同學們就感到束手無策。這種現(xiàn)象的產(chǎn)生，其實是學生對數(shù)學思維方法的缺乏。眾所周知，在數(shù)學中，一種研究對象在一定條件下轉(zhuǎn)化為另一種研究對象的思維方法稱之為轉(zhuǎn)化思想。轉(zhuǎn)化可以是“未知向已知的轉(zhuǎn)化”“數(shù)與形的轉(zhuǎn)化”“復雜性向簡單性的轉(zhuǎn)化”“特殊性向一般性的轉(zhuǎn)化”等等。在這眾多的轉(zhuǎn)化思想中，“換元法”是一種具有代表性的科學轉(zhuǎn)化思想。“換元法”的基本思想就是用新的變量（元）替換原來的變量（元），通過換元可以把復雜的命題化為簡單的命題，把未知轉(zhuǎn)化為已知，從而拓寬思路，化難為易。瀏覽義務教育七——學段數(shù)學教材，“換元法”的滲透以及“換元法”思想的應用無不貫穿于其中，顯示了其獨特的魅力。其實，“換元法”思想方法的形成和培養(yǎng)，不是一蹴而就的，它需要一個循序漸進的過程，大致體現(xiàn)在以下幾個方面。

一、開始階段

具體體現(xiàn)在七年級上冊教材中，列代數(shù)式“用字母表示數(shù)”和“求代數(shù)式的值”，以及“用數(shù)替換字母”的問題，實際上就是換元意識的初步體現(xiàn)。

例1：（列代數(shù)式）兩數(shù)和的平方與這兩數(shù)平方和

的差。

解：設(shè)這兩數(shù)分別為x、y，得（x+y）2-（x2+y2）。

例2：若代數(shù)式2y2+3y+7的值為2，那么，代數(shù)式4y2+6y-9的值應該是（ ）：A.1、B.-19、C.-9、D.9.

解：由2y2+3y+7=2，得：2y2+3y=2-7=-5，兩邊都乘2，得：4y2+6y=-10，兩邊都減去9，得：4y2+6y-9=-19，故選B。

二、發(fā)展階段

具體體現(xiàn)在七年級下冊和八年級教材中，用代入法解二元（或三元）一次方程組和乘法公式的靈活運用以及一些特殊分解因式的方法，這些內(nèi)容實際就是換元思想的成長時期。

例3：x/4=y/5=z/6 ①2x+3y-4z=-3 ②

解：設(shè)x/4=y/5=2/6=k，則x=4k，y=5k，z=6k ③，把③式代入②式，得：k=3，∴x=12，y=15，z=18。∴原方程組的解為x=12，y=15，z=18.

例4：已知：（x+1）/x=3，求x2+1/x2的值。

解：由公式a2+2ab+b2=（a+b）2，得：a2+b2=（a+b）2-2ab，所以，x2+1/x2= （x+1/x）2-2=7.

例5：分解因式（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）-24.

解：（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）-24=[（x+1）（x+4）] [（x+2）（x+3）]-24=[x2+5x+6]-24。設(shè)x2+5x+5=y，則：原式=（y-1）（y+1）-24=y2-1-24=y2-25=（y+5）（y-5）= （x2+5x+10） （x2+5x）=x（x+5） （x2+5x+10）.

三、成熟階段

具體體現(xiàn)在九年級教材中，用換元法解可化為一元一次方程的分式方程和無理方程組的問題，這實際就是換元意識的靈活運用時期。

例6：解分式方程（x2+5）/（x+1）+ （x+1）/ （x2+5）=10/3.

解：設(shè)（x2+5）/（x+1）=y，則原式可化為（y+1）/y=10/3，去分母，整理后，得：3y2-10y+3=0，解得：y2=1/3. 當y1=3時，（x2+5）/（x+1）=3，即有x2-3x+2=0，∴x1=1，x2=2；當y2=1/3時，（x2+5））/（x+1）=1/3，即有3x2-x+14=0，∵△<0，∴無解。

例7：解無理方程： 2x2-6x -5=0.

解：設(shè) =y，則x2-3x-1=y2，故原方程可化為y2-5y-3=0，解得：y1=-1/2，y2=3。當y1=-1/2時， = -1/2，無解；當y2=3時， = 3，∴ x2-3x-1=9，即x2-3x-10=0。解得：x1=-2，x2=5。經(jīng)檢驗，x1=-2，x2=5是原方程的解。

四、升華階段

具體體現(xiàn)在運用換元法解各類數(shù)學競賽題，這實際就是換元思想的特殊功能。

例8： 求 的值.

解：設(shè)1111……（n個）=x，則原式 = = = =3333……（n個）.

通過以上事例可以知道，用“換元法”解數(shù)學問題可以改進解題過程，能使不少用常規(guī)思維不易解決的問題，找到“漂亮”的解法，起到了事半功倍的效果。所以，我們在平時的數(shù)學教學中，應該特別重視數(shù)學思想的培養(yǎng)，以便觸類旁通。這樣，可以提高課堂教學效果，而且對提高學生的解題能力、培養(yǎng)創(chuàng)新思維有著重要意義。