用好格子圖，為發展學生空間觀念增效

自課程改革以后，教材提供了大量豐富而有效的素材，用以實現對學生空間觀念的培養，格子圖就是其中的一種素材，縱觀整套人教版教材，發現格子圖的使用幾乎覆蓋了小學階段“圖形與幾何”中的所有平面圖形的內容。那么格子圖在教材的編排中起到了怎樣的作用？格子圖對學生學習“圖形與幾何”以及空間觀念的建立有什么價值和作用？教師在教學中如何用好教材中提供的格子圖以及創造性地使用方格圖，使它的價值最大化？下面，筆者結合這些問題來談談自己對使用格子圖的一些看法和感悟。

一、格子圖在“圖形與幾何”教材中的編排情況

在新課程的“圖形與幾何”的教學內容中大量出現了格子圖，筆者通過統計和分析，將出現過格子圖的“圖形與幾何”的教學內容按照圖形的認識、測量、圖形的運動、圖形與位置進行劃分匯總，并制成如下表格：

通過分析以上表格，可以發現格子圖的使用貫穿于整個小學階段的“圖形與幾何”內容的學習，它是學生建構空間觀念的一種有效的學習素材。因此在教學中教師要關注和挖掘格子圖的應用價值，用好用透格子圖，更好地發揮其作用，促進學生空間觀念的建構。

二、格子圖的應用價值

格子圖在小學階段 “圖形與幾何”的教學中被廣泛應用，無論是例題還是練習，都能找到它的身影。究其價值和在教學中起到的作用，筆者經過概括，認為有以下幾點。

（一）直觀——格子圖使幾何圖形特征的呈現一目了然

小學生主要是通過觀察獲得對簡單幾何形體和平面圖形的直觀經驗，而格子圖的最大特點就是使學生直觀地發現幾何圖形的特征。空間觀念建立在學生的直觀經驗之上，在“圖形與幾何”內容的學習中，格子圖在這個過程中就肩負了幾何圖形由現象到本質的過渡，在這個過渡的過程中幫助學生深入理解圖形特征，有效提升學生空間觀念。

例如：三上“平行四邊形的認識”教材編排情況

在三年級上冊學習“平行四邊形”時，學生還沒有學過平行概念，學生對平行四邊形的認識僅僅停留在感受階段。如何讓學生在沒有學過平行概念的情況下也可以完成對平行四邊形的初步認識，格子圖就很好地擔負起了認識平行四邊形由現象到本質的任務。我們不難發現，其實本節課的起點就是平移，這時格子圖所呈現出來的“平行”和“相等”關系就成為學生判斷平行四邊形的主要依據，學生通過在格子圖上數一數、移一移、圍一圍等方法對于平行四邊形的特征有了直觀經驗的積累，為學生在四年級上冊進一步學習平行四邊形打下基礎。

在接下來四上的梯形以及四下的三角形的學習過程中，也集中出現了格子圖與點子圖（點子圖是格子圖基礎上的變式），學生都能通過格子圖更加直觀地理解圖形的特征。空間觀念的形成是一個長期培養、逐步形成的過程。這一過程需要學生積累大量的直觀經驗，因此，教材中用格子圖作為基礎圖，能使學生在獲得“圖形與幾何”的基礎知識的同時也發展了學生的空間觀念。

（二）鋪墊——格子圖為幾何圖形知識的探究架設橋梁

小學生對于幾何圖像的表象儲備不足，空間觀念和空間想象力弱，對于幾何圖形的重新組合或再造而產生新圖形的過程往往會感到比較困難。格子圖就能有效地在這個過程中起到了一個鋪墊的作用，為幾何圖形知識的探究架設橋梁，減緩學生的思維坡度。學生有了格子圖的鋪墊就能夠階梯式地進行思考探究，從而有效提升學生的空間觀念。

例如：五上“平行四邊形的面積”教材編排情況

在五年級上冊學習“平行四邊形"的面積時，教材的編排意圖是讓學生先數格子求面積，進而學習剪拼轉化的方法。剪拼轉化的方法是學生第一次接觸，學生對于這種方法的探究是有困難的，由此利用格子圖為這個探究過程作好鋪墊。學生一開始通過數格子計算面積，之后進行平行四邊形和長方形的對比，發現平行四邊形的面積與等底等高的長方形面積是相等的。

教師可以通過讓學生討論比較數格子的方法，發現其中最為簡便的方法就是沿著高能把左邊的三角形（面積為4平方米）拼到右邊的三角形的空缺部分（面積為4平方米），轉化為長方形，來計算面積。學生在格子圖中有了這樣的思考和經驗，在接下來學習剪拼轉化的方法的時候，就能順著橋梁前行，水到渠成。

在學習三年級上冊“長方形和正方形的周長”以及三年級下冊“長方形和正方形的面積”的過程中，后面有以上這樣的練習，格子圖都起到很好的鋪墊作用，通過格子圖給學生簡單的數據提示，讓學生借助格子圖去探究周長的知識以及面積與周長之間的關系，在計算的基礎上建立圖形的表象，幫助學生發現規律，在這個過程中發展學生的空間觀念。

（三）輔助——格子圖是學習圖形運動的重要工具

圖形的運動對于小學生來說，是相對比較抽象的，有一定難度的。那么，教師如何引導學生把抽象的空間運動轉化為具體的、容易操作的教與學的過程？其實，格子圖就是這個過程中的一個重要工具，借助格子圖可以幫助學生認識和描述空間圖形變換的過程，有效提升學生的空間觀念。

例如：二下“平移”教材編排情況

在二年級下冊學習“平移”前，學生已經有不少生活當中平移現象的經驗，如何把這些生活中平移的現象抽象出來轉換到數學中的平移？教師可以引導學生借助格子圖這個工具去判斷一個圖形在方格紙上平移了多少格，同時在格子圖上選擇幾個能決定圖形形狀和大小的點，畫出簡單圖形平移幾格后的圖形。學生利用格子圖這個工具可以描述平移的運動，定量刻畫物體的平移，這樣定量的刻畫又能加深學生對平移的認識和理解。

在二上的“對稱圖形”、五下的“圖形的變換”以及六下的“圖形的放大和縮小”等內容學習過程中，格子圖都是重要的工具。學生依靠格子圖的標準，通過格子圖這個工具，準確地描述圖形位置、定量刻畫圖形的運動，這樣的描述和刻畫又能加深學生對圖形運動的認識和理解。格子圖可以帶領學生從對圖形運動的初步感知走向細致的分析，從現象走向本質，發展了學生的空間觀念。

（四）銜接——格子圖是連接圖形與位置的認識紐帶

“圖形與位置”的知識學習對學生日常生活及今后的學習都十分有用，學生在平時的生活中已經獲得了許多對“圖形與位置”的認識，然而這些認識大都是零散、模糊的。格子圖就是這樣一根紐帶，可以連接學生對位置的已有認識和教材中的有關知識，讓學生從用生活經驗描述位置上升為用數學方法描述位置，格子圖上一條條水平和豎直的線，一組組平行與垂直的關系，將為學生建立圖形與位置的認識提供有力的銜接，從而提升學生的空間觀念。

例如：六上“位置”教材編排情況

本節課要求學生用有序數來表示物體的位置。在六年級上冊學習“位置”之前，學生在一年級下冊已經學習過用“第幾組第幾個”的方式來描述實際情境中物體的位置，并且在生活中也有許多類似的經驗，但具體如何用數學方法描述位置以及其中兩個要素的意義，學生的認識還是比較零散、模糊的。格子圖則有效地將兩者銜接，讓學生借助格子圖去感受數對與具體情境中物體的位置之間一一對應的關系，明確數對中兩個數的不同含義，會用數學方法來描述位置，同時為以后在平面直角坐標系中表示一個點的位置的學習做好準備。

在一年級下冊的“位置”以及四年級下冊的“位置與方向”的教學前，學生已有許多生活中的認識，格子圖起到了連接學生認識和教材中知識的紐帶作用，學生依據格子圖上一條條水平和豎直的線，一組組平行與垂直的關系，將這些零散的認識串成線，連成行，和教材中的知識進行銜接，進一步提升已有的經驗，來構建位置和方向的感知，從而提升學生的空間觀念。

三、格子圖的應用策略

根據上述分析，教材中豐富的格子圖在圖形與幾何教學中的應用價值不可小覷，可以有效地提升學生的空間觀念。在教學中，教師要將教材中已有的格子圖用好用透，發揮它的最大價值，有些格子圖隱含在教材的事物模型中，教師要從中抽象出格子圖，去建構學生的空間觀念，有時候圖形與幾何中有的內容沒有出現格子圖，當有需要的時候，教師甚至可以創造性地使用格子圖，利用格子圖來發展學生的空間觀念。

（一）挖掘格子圖的最大價值，發展學生空間觀念

格子圖對于發展學生的空間觀念是很有幫助的，除了用好教材現有的格子圖，教師還可以深入研讀教材，將其中的格子圖用深用透，挖掘格子圖的最大價值，提升學生的空間觀念。

例如：《數學課程標準（2011年版）》例33教學

圖中每個小正方形的面積為1個面積單位，試估計曲線所圍圖形的面積，在教學中可以運用不同的方法估計圖形的面積，如：

方法1：數方格。先數一數有多少個整格，再數一數有幾個半格，把不滿整格的進行整合，最后累加起來估計不規則圖形的面積。但是這種估算不規則圖形面積的方法并沒能體現估算的價值，也就無法提升學生的空間觀念。

方法2：先數出圖形內包含的完整小正方形數，估計這個圖形的面積，然后在這個基礎上，再加上圖形邊緣接觸到的所有小正方形數，估計這個圖形的面積，實際面積就應該在這兩個估計值之間。然而此題還可以追求更加豐富和深刻的內涵。

在方法2的基礎上，教師還可以挖掘格子圖對于圖形的測量估計的最大價值，教師可以追問學生：那么還有什么方法能使估算的結果更接近實際面積的嗎？引導學生將格子圖中的所有的方格等分成更小的方格，探索出更接近實際面積的估計值，在這個過程中提升學生的空間觀念，巧妙地滲透極限思想。

《數學課程標準（2011年版）》明確要求學生會用方格紙估計不規則圖形的面積。因此，在估測的過程中教師不能滿足于簡單的運用方格圖，用數方格的方法去估測，而要仔細研讀教材，去用深用透格子圖，挖掘格子圖的最大價值。

（二）從事物模型中抽象出格子圖，發展學生空間觀念

在“圖形與幾何”的教學中，教材的有些事物模型的背后隱含著格子圖，而這隱含著的格子圖有助于將學生的空間感知由具體轉為抽象。教師需要仔細研讀教材，從事物模型中抽象出格子圖，為學生提供空間想象的機會，提升學生的空間觀念。

例如：一下“位置”教材編排情況

對于一年級下冊“位置”的教學，教材提出結合生活實際，讓學生從兩個維度描述一個物體的位置（不要求用數對來描述），教材從學生最熟悉的座位引入。教學時，教師讓學生說出自己的班里有幾組，每組有幾人，再說出自己的座位。根據學生的回答，教師指出：要確定自己的位置，既要說出自己在第幾組，又要說出自己在第幾個（或第幾排）。通過仔細研讀教材，不難發現，隱含在學生熟悉的座位排序這個事物模型的背后就是格子圖，教師可以從這個具體情境中抽象出格子圖，讓學生結合具體情境在格子圖上指一指、說一說、畫一畫，給學生提供一個從具體到抽象的空間想象的機會，通過格子圖提升學生對位置的理解和認知基礎，建構學生的空間觀念。

從教材中學生的座位排序的事物模型，可以抽象出隱含在其中的格子圖，結合具體情境讓學生在格子圖上加深對位置的認知和理解。從一下“位置”后面的練習中可以發現，已經直接出現了格子圖，正是有了開始結合具體情境讓學生在格子圖上指一指、說一說、畫一畫的經驗，訓練了學生的空間想象能力，學生就能更好地去解決這樣的問題，從而建構空間觀念。

（三）創造性地使用格子圖，發展學生空間觀念

在“圖形與幾何”的教學中，有時候有的內容中沒有出現格子圖，當有需要的時候，教師可以創造性地使用格子圖，利用格子圖的一些特性為新知識作一個延伸拓展，發散學生的思維，提升學生的空間觀念。

例如：“三角形的面積公式推導”教材編排情況

人教版教材把三角形面積公式推導的重點放在將兩個完全一樣的三角形拼成平行四邊形的擴拼法的研究中，學生學完后腦海中也就只有這一種轉化的方法。在之前學習平行四邊形面積公式推導中，通過格子圖的鋪墊學習了剪拼轉化的方法，教師完全也可以將剪拼轉化的方法遷移到三角形的面積推導上來，作為面積公式推導方法的拓展延伸。三角形的面積公式推導中沒有安排格子圖，教師可以創造性地應用格子圖，讓學生在數格子的過程中去發現可以把三角形的相鄰兩邊的中點連接起來，并沿著這條連線把原三角形剪成一個小三角形和一個梯形，然后拼成一個平行四邊形。在這個過程中去發散學生的思維，去擴充學生的空間觀念。

如果沒有格子圖，學生在三角形面積公式推導過程中是很難想到用剪拼轉化的方法的。整個推導的過程，正是創造性地使用了格子圖，使學生有了格子圖這一腳手架，才將三角形面積的剪拼轉化的方法演繹得淋漓盡致。使學生在學習將兩個完全一樣的三角形拼成平行四邊形的擴拼法的基礎上，有了方法的拓展延伸，從而提升了學生的思維高度，發展了學生的空間觀念。

格子圖貫穿于整個小學階段“圖形與幾何”的學習過程，每幅格子圖都具有以自身特有的優勢來提升學生空間觀念的作用。教師要用好用透格子圖，挖掘格子圖的最大價值，能夠從教材的事物模型中抽象出格子圖，甚至能夠創造性地使用格子圖，開發出它更多的用途，使它的價值發揮到最大化，真正有效建構和提升學生的空間觀念。