彌補教材缺陷 實現教學“有序”

古希臘著名哲學家亞里士多德指出：“有序和對稱是美的重要因素，而這兩點都能在數學中找到。”

“有序”是什么？有序就是考慮問題、處理事情時，必須遵循一定的順序。遵循這種順序，能使思維有條不紊，操作井然有序，也便于找到解決問題的規律。

在數學中最講究有序。例如，當學生學習數數（shǔshù）時，要數完100以內的所有非零自然數，總是以1開始，按照1、2、3、4、5……的順序，從小到大地往下數，直到100。而不會“5、8、3、9、4……”地亂數。

再如，在線段A1A6上，設置了A2、A3、A4、A5四個內點，要求你數一數，共有多少條線段？

A2 A3 A4 A5

A1 A6

這時，可以用下列兩種辦法：

（1）先數以A1為左端點的線段，有A1A2、A1A3、A1A4、A1A5、A1A6共計5條；再數以A2為左端點的線段，有A2A3、A2A4、A2A5、A2A6共計4條；接下來，以A3為左端點的線段共計3條；以A4為左端點的線段共計2條；而以A5為左端點的線段只有A5A6這1條。所以總共有線段5+4+3+2+1=15（條）。

（2）把A1A2、A2A3、A3A4、A4A5、A5A6這些以相鄰兩點為端點的線段稱為“基本線段”，這些基本線段共有5條；再數由相鄰兩條基本線段組成的“二階線段”，共有4條；由相鄰三條基本線段組成的“三階線段”共計3條；由相鄰四條基本線段組成的“四階線段”共計2條；而由相鄰五條基本線段組成的“五階線段”只有A1A6這1條。于是線段的總條數仍是5+4+3+2+1=15（條）。

在學習了“三角形任意兩邊之和必大于第三邊”的性質后，如果教師給出了如下題目：“用長度分別為2、3、4、5、6、7厘米的小棒，一共能擺成多少個不同形狀的三角形？”這也難不倒學會了有序思考的學生，他們會按照由小到大的順序來試擺。

（1）“2”打頭的：（2、3、4）2、3、5，2、3、6，2、3、7，（2、4、5）2、4、6，2、4、7，（2、5、6）2、5、7，（2、6、7）

其中，括號內的表示能擺成三角形的三根小棒長度的厘米數，而下面添了橫線的則表示不能擺成三角形的三根小棒長度的厘米數。

（2）“3”打頭的：（3、4、5）（3、4、6）3、4、7，（3、5、6）（3、5、7）（3、6、7）

（3）“4”打頭的：（4、5、6）（4、5、7）（4、6、7）

（4）“5”打頭的：（5、6、7）

故能擺成13種不同形狀的三角形。

這一結果的正確性易用組合知識驗證：

從6個不同元素中每次選出3個的組合數為，扣除7種不合條件的，則符合條件的恰為13種。

試想，面對這樣的題目，如果學生沒有學會有序思考，而只是零敲碎打地去嘗試，要算出正確答案會有多么困難！因為無序的試驗極易出現遺漏和重復。遺漏是“失真”，重復屬“采偽”，這兩種都是學生易犯的錯誤。

再后來，要學習“多項式”，多項式的各項排列也是有序的，通常是從高次項排起，一直排到不含字母的常數項，稱之為“降冪排列”。到高中學習“數列”時，更是明文規定：“按一定順序排列的一列數稱為數列”。到大學學習“級數”時仍講究有序。

事實上，在生活中，有序無處不在：農業栽培的環節有序，工業生產的流程有序，音樂的結構有序，舞蹈的編排有序，建筑群的安排錯落有致也是一種序，……因此，在數學中學好了“有序”，就能一通百能，受用無窮。

下面筆者選取人教版義務教育課程標準實驗教科書《數學》三年級上冊第113頁“數學廣角”中的例2進行研討，先看看這段教材在有序性上存在哪些問題，再探究如何處理教材做好“有序”教育。

這是一道滲透“排列”知識的題目，只可惜在解答中學生存在著諸多順序混亂的毛病。

第一，題中所給的三個數字是無序的，“7、3、9”既不是從小到大，也不是從大到小，欠妥當。

第二，即使是按原題給出的“7、3、9”來排三位數，那么在百位數字的選取時，也應按“7、3、9”的順序，然而在教科書的“樹圖”中，卻又是按“9、7、3”來排的，不合適。

第三，倘若百位上的數字是按“9、7、3”來排的，則十位上的數字也應照此辦理。但在教科書的“樹圖”中卻又沒有完全理順：前兩個位數的十位上數字依次為“7、3”，中間兩個三位數的十位上數字依次為“9、3”但最后兩個三位數的十位上數字依次為“7、9”，對于“9、7、3”來說，構成了一個“反序”。

第四，在教科書左上方的黑板上，已填的表格為：

由此看來，三個數字的順序又變成了“9、3、7”。這還不算，若按“9、3、7”的順序，第三個三位數的百位上數字就應該是“3”，而表格中的第三個三位數的百位上數字卻填的是“7”。

第五，在教科書左下方的黑板上，那位小男生所填的第一個數是 ：

其三個數字的順序又獨樹一幟，與眾不同。

總之，教科書上的排法五花八門、凌亂無序。這或許是編者出于對“有序”教育的忽視而產生的無心之舉；抑或是編者出于排列問題解答時的多種途徑，為突出“條條道路通羅馬”而有意為之。但無論是無心也好，有意也罷，這樣做就坐失了進行“有序”教育之良機。有序才能呈現數學美，有序才能發現規律。有序不僅有著明顯的美學意義，也有著深刻的方法論的意義。

其實，盡管解答排列題的具體方法多種多樣，但教師教給學生的應是最基本的路子，以免喧賓奪主，讓學生無所適從。對此，筆者建議這樣來進行例2的教學：先把題中的“7、3、9”改成“3、7、9”，再按順序來排百位上的數字和十位上的數字，并利用“樹圖”來完成所有三位數的排列（如下圖）。

其中第一個數字為379，最末一個數字為973。第一個數中三個數位上的數字由小到大，最末一個數中三個數位上的數字由大到小，順序正好完全相反。

總之，一線小學教師應不斷提高自身素質，用創造性的教學彌補教材的缺陷，扎扎實實把好基礎教育這一關，把學生教育得更聰明，也圓自己的育才報國之夢。