遵循認知規律 發展學生思維

計算教學不僅是小學數學學習的基本內容，更與其他領域的知識學習彼此交織，非常重要。但在平時的教學中，卻發現計算教學往往被教師所忽視，不僅研究課上得少，而且教學目標的確定易出現偏差。那么，如何讓計算教學的核心聚焦于發展學生的思維，使計算教學承載的多元目標得到有效關注呢？現筆者結合蘇教版五年級上冊“除數是小數的除法”一課中的幾個教學片斷，談談自己的認識。

教學片斷一：復習回顧，有效遷移

師：今天我們繼續研究計算。請同學們看四道題：4800÷600， 0.15÷3，4800÷60，4.9÷7。

師：4800÷600的結果是多少？你是怎樣想的？

生1：結果是8。我是將4800與600同時縮小100倍，因為48÷6=8，所以4800÷600=8。

師（小結）：利用商不變性質，4800除以600的商與48除以6的商是一樣的。

師：4800÷60的結果是多少？你是怎樣想的？

生2：結果是80。我是將4800與60同時縮小10倍，利用商不變性質，因為4800除以60的商與480除以6的商是一樣的，所以結果是80。

師：為什么縮小10倍？4800不是可以縮小100倍的嗎？

生3：因為除數是60，只能縮小10倍，所以被除數也只能縮小10倍。

師（小結）：要根據除數縮小的倍數來確定被除數縮小的倍數。

師：0.15÷3和4.9÷7分別等于多少呢？

生4：結果是0.05和0.7。

師（小結）：這是我們前面學習的除數是整數的小數除法。

……

思考：學生學習“除數是小數的除法”的知識基礎有兩個，即“商不變性質”和“除數是整數的小數除法”。課始，安排四道有針對性的復習題很必要。雖然傳統教學中的過度復習、層層鋪墊會窄化學生的思維路徑，但我們面對的是近50位學生，那些面對新問題能迅速在自己已有的認知結構中檢索與問題相關的經驗和信息的學生畢竟是少數，大部分學生的思維展開需要有效激活。因此，遵循學生認知規律的復習與準備仍然非常重要。

教學片斷二：嘗試探究，歸納發現

1.探究0.24÷0.06

師：0.24÷0.06等于多少？我們可以怎樣思考？先把想法記錄在作業單上，再用豎式試一試，做完后四人小組交流想法。（學生活動，教師巡視指導）

交流（1）：0.24÷0.06的想法

師：結果是多少？ 你是怎樣想的？

生1：結果是0.04。把0.24÷0.06看作24÷6，因為24÷6=4，所以0.24÷0.06=0.04。

生2：我不同意他的方法。我也把0.24÷0.06看作24÷6，利用商不變性質，因為被除數與除數同時擴大100倍，商應該不變，所以0.24÷0.06的商應也應該是4。

生3：我也認為0.04是錯誤的。根據商不變性質，0.24÷0.06的商與24÷6的商應是一樣的，都是4。

生4：可以用乘法驗算。因為0.06×0.04=0.0024，所以商應該是4，即4×0.06=0.24。

師：用乘法驗算是個好方法。

生1：我知道自己錯在哪里了。被除數、除數同時擴大相同的倍數，結果應該不變。

師：利用商不變性質，把0.24除以0.06轉化成24除以6，這樣就把新問題轉化成以前學過的知識了，所以商是4。轉化真是個好辦法。

交流（2）：0.24÷0.06的豎式計算

（呈現學生的作業）

師：先仔細觀察上面的三個豎式，能看明白嗎？再認真分析哪個豎式比較合理。（學生獨立思考）

生5：我先說說第一個豎式。把0.24和0.06同時擴大100倍，轉化成了24除以6，所以商是4，寫在個位上。

生6：我覺得他把小數點和0都劃去，非常好，能讓我們更清楚地看到被除數和除數同時擴大了100倍。

師：通常我們在進行除數是小數的除法計算時，在轉化的過程中，可以把多余的小數點和0劃去。

生7：第二個豎式結果是正確的，但看不出轉化的過程，除數是小數怎么就直接計算了呢？

師：那請做這道題的同學說說想法。

生8：我也是把0.24除以0.06看作24除以6計算的，但在豎式上不知道怎樣表示。

師：現在知道了嗎？前面與他有同樣困惑的同學現在清楚了嗎？（部分學生點頭）

生9：最后一道豎式，商4寫錯了位置。0.24÷0.06轉化成24除以6后，結果不能寫在0的上面，要寫在4的上面，也就是寫在個位上。

師：通過同學們的分析比較，我們已經找到用豎式計算0.24除以0.06的方法。前面出錯的同學，可以修改、調整自己的算法。

2.嘗試計算0.72÷0.12和0.72÷0.2

師：這兩道題，你能用豎式算一算嗎？試一試，做完后四人小組交流想法。（學生活動，教師巡視指導）

交流（1）：0.72÷0.12 （活動過程略）

交流（2）：0.72÷0.2 （呈現學生的三種豎式計算，如下）

師：仔細觀察上面的三個豎式，先分析哪些是正確的，哪些是不正確的，然后比較哪種方法比較好。（學生獨立思考或組內交流）

生10：我認為第1種做法是不正確的。0.72÷0.2的結果怎么可能是36呢？結果太大了。

師：采用直觀感受，預估商的范圍。

生11：利用乘法驗算，0.2×36=7.2，所以結果不是36。在豎式計算的時候，他把被除數擴大了100倍，除數擴大了10倍，結果肯定就不對了。

生12：他只是把被除數和除數的小數點都去掉了，不是擴大相同的倍數，所以結果是錯誤的。

師：看來，在進行除數是小數的除法計算時，要利用商不變性質進行轉化，而不是簡單地把小數點去掉就行了。

生13：我認為第2、第3種做法都是正確的，因為它們的結果都是3.6。

生14：第2種方法是將0.72÷0.2轉化成7.2÷2，被除數和除數同時擴大了10倍；第3種方法是將0.72÷0.2轉化成72÷20，被除數和除數都擴大了100倍，結果都正確。

生15：我喜歡第2種方法，比較簡單。

生16：我也喜歡第2種方法。第3種方法擴大100倍，數太大了，除數末尾還要添“0”，不容易算，比較麻煩。

師：我們進行除數是小數的除法計算時，只要把除數轉化成整數就可以了，不需要把除數和被除數都轉化成整數。

……

思考：上述教學中的內容，教材在編寫意圖上是將除法豎式的“半成品”直接呈現給學生，幫助學生掃除形式書寫上的障礙。但“紙上得來終覺淺”，沒有經歷真實的自主嘗試、比較歸納的探究過程，學生的思維發展就無從談起。上述教學以三道習題引導學生探究“除數是小數的除法”的計算方法，經歷了兩個層次：第一層次，除數與被除數的小數位數相同；第二層次，除數與被除數的小數位數不相同。兩個層次的展開，體現以下幾個方面的特點：第一，留給學生充分的獨立思考解決問題的時間和空間；第二，充分展現學生真實的思維過程，在相互辨析、比較、歸納的過程中，使學生的認識逐漸清晰；第三，引發學生產生認知沖突，強化學生對計算結果可能范圍的估計，增加學生在復雜背景下靈活選擇解決方法的機會，提升學生的思維品質。

教學片斷三：合理挑戰，完善認知

7.98÷4.2 1.1÷0.55 3÷1.2

師：這是一組具有挑戰性的題目，讓我們用豎式試一試，做完以后四人小組交流想法。（學生活動，教師巡視指導）

交流（1）：7.98÷4.2 （活動過程略）

交流（2）：1.1÷0.55

生1：把1.1和0.55同時擴大100倍，轉化成110除以55，結果是2。

師：為什么要同時擴大100倍？

生2：因為除數是兩位小數，要把除數轉化成整數，所以同時擴大100倍。

生3：1.1擴大100倍，末尾要添“0”。

師：的確是個好提醒。

交流（3）：3÷1.2

師：這是一道整數除以小數的題，怎樣解決的？

生4：同時擴大10倍。

生5：其實很簡單。除數是一位小數，要轉化成整數，被除數和除數只要都擴大10倍就可以了。

師：你抓住了“除數是小數的除法”計算的本質，只要把除數轉化成整數，問題就迎刃而解了。

……

思考：上述教學，改變以知識點為主的教學方式，在優化數據、降低計算難度的基礎上，教學目標直指明確算理、溝通算法，體現一類知識的整體教學思想。教學中把第二課時的例題“1.1÷0.55”和“3÷1.2”提前至第一課時，是因為學生的學習經歷了自我理解、自我建構的過程，使順學而導的教學設計成為了可能。上述教學過程，不僅讓學生更深刻地感受到知識背后蘊涵的數學思想，而且幫助學生形成數學的思維方式。

總之，計算教學既要把握教學內容的實質，充分尊重學生的認知規律，又要關注學生經歷自主探究的過程，發展學生的思維。當學生在整個學習過程中嘗試了多種探究方法、明確基本算理、優化計算方法之后，這時學生的認識就不再局限于具體的計算上，而是通過“分析——比較——歸納”的過程得到了一類問題的解決方法。分析比較、歸納概括既是學生在數學學習中形成的重要的思想方法，也是數學學科教學育人價值的最大體現。

（責編 杜 華）