為何學(xué)生喜歡同一角度

在教學(xué)實(shí)踐中，筆者發(fā)現(xiàn)一個(gè)有趣的現(xiàn)象：學(xué)生無論是畫長方體還是正方體，都更偏愛于向右側(cè)傾斜的角度。于是，筆者對(duì)北京市兩所小學(xué)100名六年級(jí)小學(xué)生進(jìn)行了一次測(cè)試作圖能力的問卷調(diào)查，其中一項(xiàng)調(diào)查內(nèi)容是考查學(xué)生畫任意大小的長方體和正方體的水平。此項(xiàng)結(jié)果顯示，78.9%的學(xué)生即使他們的作圖不夠準(zhǔn)確，但是呈現(xiàn)出的立體圖形方向一致是向斜右側(cè)傾斜的（見圖1），只有7%的學(xué)生選擇了左側(cè)傾斜的角度或其他角度。由此引發(fā)的問題是，不同的學(xué)生應(yīng)該具有不同的觀察角度，但是為什么他們觀察到的、畫出來的圖形都是向右側(cè)傾斜的？如何解決學(xué)生觀察物體角度的單一性？

一、畫法單一源于理解困難

學(xué)生在學(xué)習(xí)了長方體和正方體的特征后，都知道它們有6個(gè)面、12條棱和8個(gè)頂點(diǎn)，并且每兩個(gè)面、每四條棱互相平行。但是，在平面上呈現(xiàn)出來的正方體和長方體卻發(fā)生了變化，能夠被學(xué)生看到的只有3個(gè)面、9條棱和7個(gè)頂點(diǎn)。其次，為了真實(shí)地將立體圖形在平面上表達(dá)出來，通常將長方體和正方體的前后兩個(gè)面畫成長方形或正方形，而兩個(gè)側(cè)面和上下兩個(gè)面用平行四邊形來替代。另外，個(gè)別棱的長度以及一些角度也要發(fā)生相應(yīng)的變化。前后兩個(gè)面的棱長長度不變，而原來垂直于前后兩個(gè)面的四條棱長度要變成原長度的一半，并向右側(cè)或左側(cè)傾斜45°角。在此基礎(chǔ)上，為了兼顧長方體和正方體的性質(zhì)，看不到的邊要與它的對(duì)應(yīng)邊平行且長度相等，一般用虛線將它們呈現(xiàn)出來。這時(shí)，一個(gè)完整、真實(shí)的立體圖形才在平面上呈現(xiàn)給學(xué)生。這種呈現(xiàn)立體圖形的畫法專業(yè)上叫做斜二測(cè)畫法，這種畫法簡單、機(jī)械，畫出的長方體和正方體特別規(guī)范，所以被教材和教師廣泛接受。

但是，對(duì)學(xué)生來說，要適應(yīng)數(shù)量、角度、長度和形狀四個(gè)方面的變化，他們所知道的三維物體性質(zhì)與所看到的圖形的差異使他們產(chǎn)生了認(rèn)知沖突，因此要面對(duì)許多無法解決的困惑。這成為學(xué)生理解平面上正方體和長方體圖形產(chǎn)生困難的主要原因。所以，學(xué)生選擇了一個(gè)相對(duì)簡單的角度來畫出他們看到的長方體或正方體，而不需考慮實(shí)際看到的情況。

二、來自教科書中的呈現(xiàn)方式

應(yīng)該指出的是，教科書中的立體圖形存在著呈現(xiàn)的角度和種類過于單一的問題。比如，人民教育出版社出版的《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)》一年級(jí)上冊(cè)第32頁《認(rèn)識(shí)圖形和物體》一節(jié)，給出的正方體和長方體的平面圖都一致采用了向右側(cè)傾斜的角度，即呈現(xiàn)出來的立體圖形應(yīng)該是觀察者從右側(cè)看到的。在同一版本五年級(jí)下冊(cè)《認(rèn)識(shí)長方體與正方體》一節(jié)教材第28頁中，也采用了這一角度將長方體和正方體呈現(xiàn)給學(xué)生（見圖2）。

同樣的現(xiàn)象也出現(xiàn)在北京師范大學(xué)出版社出版的《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)》中。例如，此版本五年級(jí)下冊(cè)第13頁《長方體（一）》中，采用了向右傾斜的角度呈現(xiàn)立體圖形的平面圖。同一冊(cè)書《長方體（二）》中，讓學(xué)生求體積的練習(xí)，也采用了一致的角度。觀察其他年級(jí)的教科書也不難發(fā)現(xiàn)，教材中主要采用斜二測(cè)畫法呈現(xiàn)給學(xué)生立體圖形，并且角度以向右傾斜占主要部分。

除了呈現(xiàn)角度的單一性外，教材呈現(xiàn)給學(xué)生的長方體和正方體實(shí)物的種類也過于單一。仔細(xì)閱讀人教版數(shù)學(xué)教材和北師大版數(shù)學(xué)教材可以發(fā)現(xiàn)，在學(xué)生學(xué)習(xí)觀察物體或認(rèn)識(shí)立體圖形的相關(guān)章節(jié)里，例子中的實(shí)物大多為盒子類、電器類或小木塊等物體。這樣的方式雖然有利于學(xué)生直觀地認(rèn)識(shí)立體圖形，但不能擴(kuò)大學(xué)生的視野和知識(shí)面，豐富數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系。同時(shí)，過于單一的角度和種類也不利于對(duì)學(xué)生空間觀念以及想象力和創(chuàng)造力的培養(yǎng)。

三、多角度觀察，多樣化呈現(xiàn)

由此可見，學(xué)生在觀察平面上的立體圖形時(shí)存在困難以及教科書中呈現(xiàn)的圖形角度和種類過于單一是導(dǎo)致學(xué)生觀察物體角度單一和畫法單一的主要原因。解決這個(gè)問題，首先要強(qiáng)調(diào)讓學(xué)生從不同的角度觀察物體，提高學(xué)生視覺分析的技能。視覺分析的能力是指學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)一些物體獨(dú)特的、不同的特征的能力。多角度的觀察可以讓學(xué)生經(jīng)歷分類、對(duì)比的過程，可以提高學(xué)生這種區(qū)分、辨別的能力，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)立體圖形的感知。學(xué)生觀察物體的過程是一個(gè)由三維世界到二維圖形逐漸過渡的過程。因此，觀察不同角度的立體圖形平面圖與多角度觀察實(shí)物一樣重要。這就需要教材和教師呈現(xiàn)出多角度、多樣化的圖形。

對(duì)比中國各版本的小學(xué)數(shù)學(xué)教材與美國McGraw-Hill公司出版的加利福尼亞州小學(xué)數(shù)學(xué)教材（以下簡稱加州版教材），可以明顯發(fā)現(xiàn)，加州版教材無論是在認(rèn)識(shí)不同立體圖形還是在求立體圖形體積的知識(shí)中，其呈現(xiàn)立體圖形的角度和種類選擇都更具有多樣性。

例如，加州版教材California Mathematics Grade5第568頁practice and problem solving一欄，題中要求學(xué)生畫出立體圖形的正面、側(cè)面與上面并呈現(xiàn)出了不同角度的長方體和正方體讓學(xué)生觀察（見圖3）。相比之下，中國教材在介紹長方體和正方體時(shí)，只給出了兩個(gè)同一觀察角度的立體圖形平面圖。

又如，同一版本教材California Mathematics Grade6第610頁認(rèn)識(shí)不同立體圖形練習(xí)以及第616頁求體積的題目里，教材呈現(xiàn)出立體圖形的角度也是多種多樣的（見圖4）。

這使學(xué)生可以見識(shí)到不同角度的立體圖形，并觀察到不同角度下哪些部分是看不到的，哪些部分需要用虛線來表示，使二維與三維在頭腦中的轉(zhuǎn)化更加透明、嫻熟、迅速。此外，在加州版教材中《認(rèn)識(shí)立體圖形》部分的實(shí)物圖中可以發(fā)現(xiàn)，學(xué)生通過對(duì)蠟燭、金魚缸、古建筑物、罐頭盒、儲(chǔ)物盒、露營帳篷、狗窩甚至人造衛(wèi)星等多種物體的認(rèn)識(shí)和感知，更能溝通數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)與現(xiàn)實(shí)生活經(jīng)驗(yàn)的聯(lián)系，加深對(duì)整體與部分關(guān)系的理解，開闊視野并豐富他們的文化知識(shí)。

盡管我們生活在三維的世界中，但是大部分?jǐn)?shù)學(xué)材料都是通過二維圖形呈現(xiàn)給兒童的，而通過二維圖形呈現(xiàn)給學(xué)生三維世界的一個(gè)主要教學(xué)工具就是教科書。數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)調(diào)學(xué)生空間觀念的形成。因此，要想讓學(xué)生對(duì)立體圖形的理解更透徹，對(duì)今后的學(xué)習(xí)打下更扎實(shí)的基礎(chǔ)，多樣化的教學(xué)素材以及讓學(xué)生多角度的感知立體圖形是不可忽視的。

（責(zé)編 黃春香）