微分方程穩定性判定方法在教學中的探討

摘要： 在微分方程課程教學中，會發現求解微分方程會比較困難。我們想把求解的思想轉移到相平面上或者利用李雅普若夫第二方法，通過分析方程的結構從而得到微分方程解的穩定性和發展趨勢。本文作者對教學中的教材的合理選擇、方法的改進進行了探討。希望學生通過學習不僅可以學到理論知識，而且可以掌握實際應用手段來解決實際問題。

關鍵詞： 穩定性分析法 微分方程的解 V函數

系統的穩定性問題是微分方程定性理論研究的重要課題之一。穩定性這個詞的意義起始于力學，它刻畫了一個剛體運動的平衡狀態，通常說這個平衡狀態是穩定的，就是說剛體在受到干擾力的作用從原來位置微微移動后，仍回到它原來的位置；反之，它趨于一個新位置，這時，我們說平衡狀態是不穩定的。由此可見，研究系統的穩定性具有重要現實意義。

求解微分方程一直是研究方程穩定性的最重要的內容之一。隨著研究的擴展和深入，人們遺憾地發現可以解析求解的常微分方程類型甚少。法國數學家龐加萊（J.H.Po incar6，1854—1912）順應科學發展趨勢，在微分方程求解過程中引入定性思想，突破了原有的微分方程求解的思維束縛，這是微分方程研究歷史上的一次重大飛躍。在定性理論研究基礎上俄國數學家李雅普諾（A.M.Liapunov，1857—1918）開創了常微分方程穩定性理論——亦稱運動穩定性理論，在具體問題的研究中進一步完善和發展了定性理論。

一、基本思路

在進行該課程的教學研究過程中，我們認識到，要使微分方程穩定性內容在教學中做到既能讓學生學習到理論知識，又能利用這些理論知識處理實際問題。為了解決這個問題，我們考察研究穩定性理論用于解決社會需求的實際問題、高校教學和學科發展的要求。充分認識到學生通過很好地學習這部分內容，并將所學知識應用到實際中去，就要做到以下幾點。（1）對判定穩定性理論內容進行調整，刪減陳舊冗余的內容，增加新穎實用且可以解決實際問題的內容。（2）加強相關多學科知識整合的綜合實驗教學，加強設計性、研究性教學。（3）教學的方法和體制必須革新，網絡教學勢在必行。

二、教學內容

穩定性判定方法的理論依據就是以下兩種：相平面法是Poincare.H于1885年首先提出來的，它是求解一、二階線性或非線性系統的一種圖解法，可以用來分析系統的穩定性、平衡位置、時間響應、穩態精度，以及初始條件和參數對系統運動的影響。李雅普諾夫的穩定性理論雖以龐加萊的研究為基礎，但兩者在研究內容、研究范圍及研究方法上的不同。對于非線性系統穩定性的判別，李雅普諾夫第二方法是主要的方法。李雅普諾夫方法還被應用于研究絕對穩定性和有限時間區間穩定性問題。對于大系統和多級復雜系統，通過引入向量李雅普諾夫函數，可以建立判斷穩定性的充分條件。

三、解決實際問題的方法舉例

例1.考慮無阻尼線性振動方程的平衡位置的穩定性。

解：把（3.1）化為等價系統

（3.1）的平衡位置即（3.2）的零解。作V函數

有即于是由李雅普若夫穩定性判斷定理知（3.2）的零解是穩定的，即（3.1）的平衡位置是穩定的。

例2.分析種群的相互競爭模型。

有甲乙兩個種群，它們獨自生存時數量變化均服從Logistic規律：

兩種群在一起生存時，乙對甲增長的阻滯作用與乙的數量成正比；甲對乙有同樣的作用。

對于消耗甲的資源而言，乙（相對于）是甲（相對于）的倍。

對甲增長的阻滯作用，乙大于甲，乙的競爭力強。

t→∞時的趨向（平衡點及其穩定性）。

四、結語

學生通過對微分方程穩定性判斷方法的比較系統、全面的學習，實際接觸到用這些方法可以解決很多的實際問題。這樣不僅培養學生對理論學習思維方式，而且可以從微觀的角度進一步認識、理解和掌握理論的方法和手段，也可以比較全面地鍛煉學生發現問題、分析問題并提出解決方案的能力。當然對于這門課程還在進一步探討過程中。在實際的課程教學中還存在一些問題。比如：學生的水平參差不齊。有少部分同學在做自己應該做的那部分時需要同學來幫助，答辯的時候就無法準確地描述清楚相關內容；還有老師本身的知識也需要不斷更新，需要進一步學習新東西、新內容。所以我們還需要多方面支持和協助，這樣才能把這門課程真正地教好，讓學生學好，以便在相應的崗位上把所學知識應用到實際工作中去。

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