利用向量內積計算立體幾何中的“距離”和“夾角”

摘 要： 向量內積（數量積）的定義及其坐標運算 融向量、幾何、代數知識于一體，成為許多數學知識的交匯點，是數形結合、轉化的最佳紐帶和橋梁，是用向量法計算立體幾何中各種距離和夾角的最有力的基本工具，教學一線的教師教學中應給予足夠的重視.

關鍵詞： 向量內積 立體幾何問題 距離 夾角

距離和夾角（兩條異面直線之間的距離、點到平面的距離和異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角等）是立體幾何中的計算難點，也是考試熱點.用傳統知識和方法解決這些問題，往往要對圖形做過多的分析，需要作輔助線和一些煩瑣的拼湊技巧，對學生而言不易掌握.利用向量內積知識一般可將上述的問題轉化為代數問題來解決，可避免許多繁難的圖形分析，將問題的解決程序化和公式化，易于操作，學生也容易掌握，可大大降低思維難度，提高學生的解題能力.正如張奠宙教授說的，利用向量許多幾何命題迎刃而解……比起綜合方法需要“個別處理”的技巧，它是一個“一攬子”解決的手段.

1.求點到平面的距離

立體幾何中的幾種距離：兩條異面直線之間的距離、直線與平面之間的距離、兩平行平面之間的距離等一般都可化為求點到平面的距離.在無法（或難以）判斷所引垂線的垂足位置時，利用公式

（1）（是平面法向量，P是平面外的點，O是平面內的點）求點到平面的距離，的確是解決問題的有力工具.

例1.（2010年全國高考理科數學試題江西卷20題（Ⅰ））如圖（略），△BCD與△MC12887a6e6e733ded7358bf33bf902e9b771b3a290d3da4b2e1a9917c6511af87D都是邊長為2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，，求點A到平面MBC的距離.

解：幾何法需作多條輔助線，還以棱錐不同的面為底面通過求棱錐體積來求（技巧性強），找法向量較簡單.

取CD中點O，以O為原點，直線OC、OB、OM分別為x軸、y軸、z軸建立坐標系，則，設為平面MBC的法向量，由易求得一個代入公式（1）得所求距離

例2.（2005年全國高考文科數學試題重慶卷20題（Ⅰ））如圖1，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PD⊥底面ABCD，E是AB上一點，PE⊥EC，已知：求異面直線PD與EC的距離.

解：以D為原點，DA、DC、DP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立坐標系，作P′C∥PD，且使 |P′C|=|PD|，則因P′C∥CE、P′C確定的平面α，D點到α的距離即為異面直線PD與EC的距離.

不難求出相關點及相關向量的坐標：設α的法向量由易求得一個又代入公式（1）得所求距離

例3.（2009年全國高考文科數學試題重慶卷18題（Ⅰ））如圖（略），在五面體，四邊形ABFE為平行四邊形，FA⊥平面 求直線AB到平面EFCD的距離.

解：以A為原點，AB、AD、AF所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立坐標系，因AB∥平面EFCD，A點到平面EFCD的距離即為直線AB到平面EFCD的距離.不難求出相關點及相關向量的坐標：A（0，0，0），C設平面EFCD的法向量由易求得一個代入公式（1）得所求距離

2.求異面直線所成的角

兩條異面直線既不相交，且又有所成的角，這對初學立體幾何的學生是難以理解的.求異面直線所成的角是學生在學習立體幾何中碰到的計算度量方面的第一個難點，因為用幾何法求無現成公式可套，一般要找出（作出）所要求的角，這需要一定的技巧.利用公式

（2）求面直線所成的角較幾何法有明顯優勢.

例4.（2005年全國高考理科數學試題湖北卷20題（Ⅰ））如圖（略）在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，側棱PA⊥底面，E為PD中點，求直線AC與PB所成的角的余弦值.

解：以A為原點，直線AB、AD、AP分別為x軸、y軸、z軸建立坐標系，則，所成的角為θ，則由公式（2）得直線AC與PB所成的角的余弦值

3.求直線與平面所成的角

求直線與平面所成的角，是學生在學習立體幾何中碰到的計算度量方面的又一個難點.直線與平面所成的角的定義比異面直線所成角的定義更抽象、更難理解，首先要會作出斜線在平面上的射影，在不易找出（作出）所要求的角的情況下，應會利用公式3）（是平面法向量，∥斜線）來求.

例5.（2011年高考數學試題（全國卷）（理科·必修+選修（Ⅱ）19題）如圖（略），四棱錐S-ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，側面SAB為等邊三角形，AB=BC=2，CD=SD=1.（Ⅰ）證明SD⊥平面SAB；（Ⅱ）求AB與平面SBC所成的角的大小.

解：AB與平面SBC所成的角不易找出（作出），用幾何法解要經過轉換求出AB上的點到平面SBC的距離（較難求），再用銳角的正弦定義求出.用公式（3）較簡單.

在證明（Ⅰ）SD⊥平面SAB的條件下，以C為原點，直線CD、CB分別為x軸、y軸建立坐標系，則C（0，0，0），A（2，2，0），B（0，2，0），由得設平面SBC的法向量由易求得一個2），代入公式（3）得所以AB與平面SBC所成的角的大小為4.求二面角的大小

二面角的大小是用它的平面角來度量的，而平面角有無窮多個（都相等），可能是高中立體幾何中學生最難理解的一個概念，但幾乎是多年來數學高考的必考題，據筆者了解所知，大部分高中數學一線教師都要求學生會利用公式 分別是兩個半平面的法向量）求二面角大小，傳統的方法逐漸被淡化，部分原因可能是為了應試，但不可否認，在實際操作上較傳統的方法的確是有明顯優勢的.

例6.（2011年全國高考（課程標準卷）數學（理科）試題18題）如圖2，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD.若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值.

解：要找出二面角A-PB-C的一個平面角顯然不易.在證明BD⊥平面PAD后，以D為原點，直線DA、DC、DP分別為x軸、y軸、z軸建立坐標系，則分別為平面PAB、平面PBC的法向量，由易得代入公式（4）得由圖知（圖略），所求的角是鈍角，所以二面角A-PB-C的余弦值是

由上面分析和實例可知，利用向量內積知識解決立體幾何中的難點問題的優勢，是傳統知識和方法無法代替的，更主要的是通過對向量內積知識的學習和應用，對培養學生的思維品質和數學能力是大有裨益的.一線教師在教學中應對這部分知識給予足夠的重視.要讓學生掌握向量的思想方法，并且借助于向量，應用聯想的觀點，運動的觀點，審視的觀點，進行縱橫聯系，廣泛聯想，將幾何、代數、三角函數等數學知識、數學方法進行合理重組和整合，體驗向量法解（證）題的簡單美和結構美及數學價值，激發學生的學習積極性，對學生進一步學習空間解析幾何等高等數學也很有必要.

參考文獻：

[1]張奠宙，袁震東.話說向量[J].數學教學，2007（9）.

[2]高中立體幾何教學參考書[M].人民教育出版社，1983.9，第1版：12.