高中數學教科書中有關應用問題的探討

摘 要： 理論與實踐相結合是數學課程教材改革的重要目標之一，數學教育的目的除思想教育方針之外，還應該著眼于實用和訓練思維這兩大目標。

關鍵詞： 高中數學教科書 應用問題 理論與實踐

隨著社會的發展，數學的地位日益提高，應用越來越廣泛。它是人們參加社會生活、從事生產勞動和學習、研究現代科學的基礎；它在培養思維品質，提高思維水平方面發揮著特有的作用；它的內容、思想、方法和語言已成為現代化文化的重要組成部分。

近年來，數學教育界內的“問題解決”、數學建模等無一例外地把“應用”提到一個非常高的程度，因此，正確理解“應用”就成為一個非常重要的問題。

對于“問題解決”、“大眾數學”、“數學建模”、“應用”等，對于如何使數學課程“貼近”實際，歷史上已做了許多討論。事實上，理論與實踐相結合是數學教程改革的重要目標之一。在兩千多年前，數學教育就存在實際應用和訓練思維的兩大目標。今天數學的內容大大豐富和深化了，實際應用和訓練思維的含義也大大拓展了。歸根到底，數學教育的目的除思想教育方針之外，仍然是這兩個目標的結合。數學就自身發展來說，始終是理論與實踐密切結合一門學科。

綜觀數學教育史，我們不難發現，數學教學總是具有很強的職業成分，只是隨著中學和大學的學院化，數學和現實的聯系才被忽視，但是如何“應用”和運用“現實生活”例子為數學教學服務仍有待研究。應用在數學教學中可以有許多解釋，有些人為的、非現實生活的例子，也可能有重要的教育價值，能培養學生應用數學的技能，不能一概否定；還有一類傳統的例子是過分“現實”的，是直接從職業中拿出來的，如儲蓄、稅收等，這就有一個誰的“現實”的問題。這些例子只是社會的一些特殊需要，不足取。就算排除了這類實例，還會有多種形式來體現“應用”。比如，守門員如何占位才能縮小對手的射門角度？這些問題把數學與實際情境聯系在一起，對一些學生有吸引力，但并不是真正用數學解決問題，沒有哪個球員會這樣去計算他們站立的位置。數學的應用主要不在于這樣的“應用”，更重要的是，這種“聯系”不可能總是結合學生的“現實”的，正如卡爾松所說：“現實是主體和時間的函數，對我是現實的，對別人未必是現實的，現在不一定再是現實的了。”可見要使課程有“應用”性是既復雜又有待長期解決的問題。

前面說的都是用來為數學教學服務的“現實”例子，當數學為現實服務時，情況就完全不同了，它是完全不同的一種例子。它是用數學去描述、理解和解決學生熟悉的社會現實問題，這種問題不僅有社會意義，而且不局限于單一的數學知識，還要用到學生多方面的知識。

著名數學教育家弗蘭登塔爾曾對數學教學表示了憂慮，他認為，數學教學應講授從豐富的現實情境中抽象出這些結構的數學發現過程。學習是指形成這種系統化的數學活動過程，而不是系統化的最后結果。因為系統化的最后結果是一個系統，是一個漂亮的封閉系統，甚至封閉到沒有入口和出口……學生所要學習的不是作為一個封閉系統的數學，而是作為一項人類活動的數學，即從現實生活出發的數學化過程。學生應該形成一個相對開放的系統，至少是一個既有入口又有出口的封閉系統。

“問題解決”恰恰反映了“入口”和“出口”問題，即從現實情景（“入口”）出發，這里所說的現實情景，既包括客觀的世界和現實的生活，又包括學生的數學現實。事實上，這是應用的一個非常重要的方面。所謂“出口”，是指數學知識應用到現實情景中去。我們所說的應用，不僅僅是解決出口問題，更重要的是解決入口問題，即從現實情景引入數學，讓學生隨時隨地都感受到數學就在身邊。

我國的一些數學教育工作者提出的“掐頭去尾燒中段”與“入口”和“出口”的觀點可以說不謀而合，他們都強調數學學習的一個完整過程，要理解數學的來龍去脈。

強調數學應用現已成為各國數學課程教材改革的共同特點，在數學課程、教科書中更加重視應用。在處理數學內容時，更多地遵循“實際問題—數學概念—實際問題”這個模式來展開。許多教科書面向現實，數學知識的引入以閱讀材料的方式出現。這些材料內容廣泛，形式各異，圖文并茂，有生動具體的現實問題，有讓人著迷的數學史，有發人深省的懸念，也有尚未解決的各種實際問題，還有現代數學及其應用的最新發展等。教科書中每節后，還安排大量與現實世界結合并帶有挑戰性的問題，供學生討論、思考和實踐，并對每一問題在題首注明數學知識被應用的領域（例如天文、建筑、管理、經濟、物理、化學等），讓學生充分感受到數學與其他學科和科學之間的聯系。總之，數學教育改革中對于應讓學生認識有關知識的來龍去脈已達成共識。

數學不同于其他自然科學，它具有逐級抽象的特點。從客觀實際、現實世界中的抽象只是數學的低級抽象；脫離具體事和物的數量關系和空間形式的數學研究的對象是數學的高級抽象。高級抽象是在低級抽象基礎上的進一步抽象，它的研究對象是一種形式化的思想材料，是經過人加工了的思想，是人對自然界的概括和認識。數學的逐級抽象性的特點，說明了學生學習過程中思維發展的不同階段和水平，因而數學的學習活動也是分層次的。學習的最低層次是數學的組織：通過學生自己的猜測、探索，從現實問題情景中提煉數學問題，發現問題及其規律，對問題有整體理解，這是學生數學的組織經驗材料的活動層次；學習的第二個層次是將數學問題組織成原理，并用數學語言模式去描繪原理。即通過對脫離具體事和物的數量關系和空間形式的數學研究，構筑抽象理論意義的數學原理。這是學生組織經驗領域的活動，是進一步抽象概括數學材料并提煉數學原理的過程；第三個層次是數學原理的驗證、推廣階段。如果說前了兩個層次是“發現”原理的過程的話，那么這個層次就是驗證推廣的階段。驗證的過程實際上是將“發展”的結果演繹推理的形式系統化、邏輯化的過程；最后一個層次是反省上述學習過程，將抽象結果應用于實際，用以指導現實生活。此層次的反省活動，是對前述認識過程的進一步認識，是對前述學習過程的反思，對整個學習過程起到調節和監控作用。斯托利亞爾認為，數學活動可分為三個階段：經驗材料的數學組織化、數學材料的邏輯組織化、數學理論的應用。這三個階段構成了學生學習活動的完整過程，忽視甚至丟棄哪個階段的做法都是不對的。學生親自感受和經歷“發現”數學的過程，也就是數學再創造的過程，唯有以再創造的方式進行數學學習，將知識的發生發展過程進行理清，才能向趨向成熟的下一階段邁進。傳統的數學課程只是按照已形式化了的現成的數學規則去操作數學。現在的數學課程強調了經驗材料的數學組織和數學應用。

參考文獻：

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