利用“切”入口，解決圓取值問題

在數學學習與研究中，能夠對所學的知識進行及時反思、總結，有助于學生更有效地學習，也能讓課堂變得充實而又充滿探究的氛圍.在近幾年的中考中，圓與直線的位置關系、圓與圓的位置關系的取值范圍問題逐漸成為考查學生能力的熱點題目.

本文抓住這一類問題進行探究，從其切入口入手，對此進行探究.

1.討論直線與圓的位置時的取值范圍問題

1.1圓走動.

例1.（2012·南京）如圖1，已知半圓O的直徑DE=12cm，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=12cm，半圓O以2cm/s的速度從左向右運動，在運動過程中，點D、E始終在直線BC上.設運動時間為t（s），當t=0s時，半圓O在△ABC的左側，OC=8cm.

（1）當t為何值時，△ABC的一邊所在直線與半圓O所在的圓相切？

（2）當△ABC的一邊所在直線與半圓O所在的圓相切時，如果半圓O與直線DE圍成的區域與△ABC三邊圍成的區域有重疊部分，則求重疊部分的面積.

思路點撥：本題著重考查當圓在移動時直線與圓的位置關系，我們只需抓住圓O與AC、AB相切兩種切入口進行討論，從而不難解決這個問題.情況1：如圖2，圓O與AC相切時；情況2：如圖3，圓O與AB相切時.

答案：（1）圓O與AC相切時，t=1s或7s；圓O與AB相切時，不難發現圓心O與C剛好重合，所以t=4s.

（2）圓O與AC在右邊相切時，重疊部分面積為圓O與AB相切時，重疊部分面積為9π.

1.2線在轉.

例2.（2012·株洲）如圖4，在直角坐標系中，點O′的坐標為（-2，0），⊙O′與x軸相交于原點O和點A，又B，C兩點的坐標分別為（0，b），（1，0）.

（1）當b=3時，求經過B，C兩點的直線的解析式；

（2）當B點在y軸上運動時，直線BC與⊙O′有哪幾種位置關系？并求每種位置關系時b的取值范圍.

思路點撥：本題著重考查當直線在旋轉時直線與圓的位置關系.我們只需抓住直線BC與⊙O′相切時的特殊情況，就可以很簡單地得出各種位置關系的取值范圍.如圖5，連接O′B，可得△O′BC∽△MOC，從而不難得出OM即b的值.但在解題時，特別要注意相切時的兩種情況，不難得出另一個b的值.

答案：（1）y=-3x+3.

（2）時，直線BCiHnrj/81wr9sItUsZ+rsmQ==與⊙O′相切；當時，直線BC與⊙O′相離；當時，直線BC與⊙O′相交.

2.討論圓與圓的位置關系時的取值范圍問題

2.1一個圓不動，另一個圓移動.

例3.（2012·聊城）如圖6，小圓的圓心在原點，半徑為3，大圓的圓心坐標為（a，0）半徑為5.如果兩圓內含，那么a的取值范圍是？搖 ？搖.

思路點撥：要確定兩圓內含的取值范圍，只要先確定兩圓內切這特殊情況的取值即可，不難得出當a=2或-2時，兩圓內切.

答案：-2

2.2一個圓移動，另一個圓也動.

例4.（2012·南京）如圖8，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AD=BC=4cm，AB=12cm，CD=8cm，點P從A開始沿AB邊向B以3cm/s的速度移動，點Q從C開始沿CD邊向D以1cm/s的速度移動，如果點P、Q分別從A、C同時出發，當其中一點到達終點時，另一點也隨之停止運動.設運動時間為t（s），

（1）t為何值時，四邊形APQD是平行四邊形？

（2）如圖9，如果⊙P和⊙Q的半徑都是2cm，那么，t為何值時，⊙P和⊙Q外切？

思路點撥：發現等腰梯形的高為，即兩圓應該有兩種情況外切，如圖10.我們對這兩種情況進行討論.第一種外切時是四邊形APQD是平行四邊形時；第二種外切時是四邊形BCQP是平行四邊形時，因此，我們只要解決什么時候四邊形APQD、BCQP會是平行四邊形.

答案：（1）要使四邊形APQD是平行四邊形，須有AP=DQ，則可得t=2；

（2）t=2或t=3.

2.3一個圓移動，另一個圓化大.

例5.（2012·蒲州）如圖11，點A，B在直線MN上，AB=11厘米，⊙A，⊙B的半徑均為1厘米.⊙A以每秒2厘米的速度自左向右運動，與此同時，⊙B的半徑也不斷增大，其半徑r（厘米）與時間t（秒）之間的關系式為r=1+t（t≥0）.

（1）試寫出點A，B之間的距離d（厘米）與時間t（秒）之間的函數表達式；

（2）問點A出發后多少秒兩圓相切？

答案：（1）d=11-2t（0≤t≤5.5）或d=2t-11（t>5.5）；

（2）此類題目主要涉及圓的位置關系知識，要求將畫圖和知識點相結合，明確相切時的特殊情況，此類問題就迎刃而解.縱觀這樣的理解，可以把學生在數學中難懂的知識點直觀地展示在學生面前，并在解題中靈活運用，能使數學的教與學變得形象生動，有利于激發學生的學習興趣，提高學習效率，培養學生的數學思維，進而提高學生的數學素養.