高職班“微分中值定理”教學設計方案

摘要： 根據教學大綱要求和當前職業教育改革的先進理念，在“微分中值定理”一課中運用啟發式教學法，利用圖形直觀降低理論難度，通過典型例題的分析講解和一定數量的練習，精講多練，突出重點，重視知識的運用.

關鍵詞： 微分中值定理 教學設計 啟發式教學 講練結合

一、課程設置分析

（一）課程的地位

《應用數學》是我院機電工程系、信息技術系、車輛工程系、電子電氣系各專業的一門必修公共課，是學生提高文化素質和學習有關專業知識、專門技術及獲取新知識能力的重要基礎.主要講授極限與連續，導數、微分及其應用，積分及其應用等一元函數微積分的內容.要注意引導學生在其他課程和實踐中使用數學，使學生認識數學的實用價值和經濟價值，逐步形成數學意識，提高學生分析和解決實際問題的能力.

（二）本次課的地位

本課教學內容是微分中值定理和函數的單調性，是導數應用的基本內容.微分中值定理是獲得可導函數單調性判定方法的理論基礎.單調函數在《應用數學》課程中占有重要的地位，函數單調性的討論是解決諸如“用料最省”“產值最高”“質量最好”“耗時最少”等最值問題的重要方法.

（三）教學設計理念與思路

學院以突出職業能力培養為導向，在加強實踐性教學、壓縮基礎課教學的實踐中做了大膽的嘗試，各專業新的培養方案要求在高職數學教育教學中，把培養數學素質作為教學過程的主線，加強對學生進行數學知識應用能力的培養，從而使學生的數學知識、能力、素質得到協調發展.根據教學大綱要求和當前職業教育改革的先進理念，課運用啟發式教學，精講多練，突出重點，通過圖形直觀降低理論難度，重視知識在實際問題中的應用.

二、教學設計分析

（一）教學目標

1.掌握函數極值的概念.

2.了解羅爾定理、拉格朗日中值定理，能運用.

3.掌握函數單調性的判定方法，能熟練運用.

（二）教學重點和難點

重點：函數單調性的判定.

難點：拉格朗日中值定理的理解與運用.

（三）教學方法

根據教學大綱要求和當前職業教育改革的先進理念，本次課運用啟發式教學，利用圖形直觀直接得出微分中值定理（拉格朗日中值定理），通過典型例題的分析講解和一定數量的練習，精講多練，突出重點，重視知識的運用.

（四）教學設計

[板書設計]整個黑板分左中右三大欄，左欄用來書寫新課知識要點，如拉格朗日中值定理及其兩個推論、函數的極值及極值點概念、極值點的必要條件、單調性判斷定理等；中欄右欄用來書寫即寫即擦的內容，如例題示范和課堂練習講評等.

以下是教學過程.

[新課引入]通過前面的學習，我們已經認識了導數，它描述函數隨自變量而變化的瞬時變化率.我們現在已經能夠熟練地計算函數的導數了.本章我們開始學習導數的應用.

[新課講授]§3.1微分中值定理

定理（拉格朗日中值定理）：如果函數y=f（x）滿足下列兩個條件：（1）在閉區間[a，b]上連續；（2）在開區間（a，b）內可導，則至少存在一點使得或.

推論：如果函數f（x）在區間（a，b）內滿足f′（x）≡0，則在（a，b）內（c為常數）.

推論：如果對（a，b）內任意x，均有f′（x）=g′（x），則在（a，b）內f（x）與g（x）之間相差一個常數，即（c為常數）.

[課堂練習]驗證拉格朗日中值定理對函數y=4x-5x+x-2在[0，1]上的正確性.

[新課講授]§3.2函數的單調性

函數的極值：極大值與極小值的統稱.

極值點：使函數f（x）取得極值的點x稱為函數f（x）的極值點.

注意：函數在一個區間上可能有幾個極大值和幾個極小值，其中有的極大值可能比極小值小；函數的極值概念是局部性的，它們與最大值、最小值不同.

定理（極值點的必要條件）：設函數f（x）在x處可導，且在點x處取得極值，那么.

可導函數的極值點必是駐點，駐點不一定是極值點.如：在x=0處.

對一個連續函數，極值點還可能是尖點（使導數不存在的點）.如：在x=0處.

定理（單調性判斷定理）：設f（x）在閉區間[a，b]上連續，在開區間（a，b）內可導，那么

①若在（a，b）內f′（x）>0，則函數f（x）在[a，b]上單調增加；

②若在（a，b）內f′（x）<0，則函數f（x）在[a，b]上單調減少.

例：求出函數f（x）=x-lnx的單調區間.

答案：f（x）的定義域是（-∞，0）∪（0，+∞），單調增區間有（-1，0）和（1，+∞），單調減區間有（-∞，-1）和（0，1）.

例：試證當x≠1時，e>ex.

思路：令可證f（x）在（-∞，1]上嚴格單調減少，在[1，+∞）上嚴格單調增加.故對任意x≠1，有即e>ex.

[課堂練習]

1.證明當x>0時.

提示：令，則在[0，+∞）上單調增加，所以，當x>0時，有即即這時.

2.求函數的單調性與極值.

答案：函數的定義域為（-∞，+∞）.減區間為（-∞，3），增區間為（3，+∞），極小值y（3）=-.

[課堂練習及講評]（略）

[本課小結]

1.中值定理.

2.函數的極值和極值點概念.

3.函數單調性的判定和運用.

參考文獻：

[1]孫薇榮等.微積分[M].高等教育出版社，2004.

[2]王玉華.應用數學基礎[M].高等教育出版社，2010.

[3]趙強.淺析高職數學課程教學的研究與實踐[J].時代教育，2011（8）.