長度 寬度 厚度

摘要： 教師要在全面把握學情，深刻理解教材的基礎上找準學生學習的落腳點，拓展學生數學思維的長度、寬度和厚度，借助數學結構化的特點，促進每個學生在數學學習上獲得最優發展。

關鍵詞： 數學發展 數學思維 長度 寬度 厚度

新課程實施以來，教師們圍繞課程總目標合理整合教學內容，不斷優化教學方法，使學生的數學素養、解題能力、創新意識有了很大的提高，但我們也發現：學困生數量在增加，學生在數學學習上兩極分化的現象越來越明顯，雖然有不少學生越來越喜歡學數學，但是也有越來越多的學生怕學數學。有人說，《數學課程標準》明確提出：讓不同的人在數學上得到不同的發展，所以出現上述狀況是可以被理解和接受的。我的理解是：學生在數學上獲得的不同的發展應該是基于每個學生學習數學的潛能被最大限度發掘基礎上的學生個體的最優發展，而不是學生在學習數學方面的“自生自滅”，甚至是教師不科學的教學行為的“生生扼殺”。片面理解甚至曲解學生數學發展的含義，重視為學生呈現結果，忽視讓學生經歷學的過程是造成學生在數學上得不到最優發展的重要因素。因此，教師要在全面把握學情，深刻理解教材的基礎上找準學生學習的落腳點，在拓展學生思維長度、寬度和厚度上做文章，利用數學結構化的特點，促進每個學生在數學學習上獲得最優發展。

一、找準認識起點，讓思維變“長”

良好的開端是成功的一半。這就需要教師在每節課的開始為學生找到恰當的認知起點，讓他順利地“進”課堂。教師要深入了解學生已經具備多少與學習本節課內容密切相關的知識經驗，方法策略，能力基礎，并根據大部分學生實際，確定學生觸手可及的認識起點，必要時適當調低學生的認識起點，幫助學生克服對數學學習的畏難情緒，讓他們帶著成功的情緒體驗順利進入新知的學習。以《三角形的面積計算》一課為例，如果僅從數學的邏輯起點分析學生學習這節課的知識基礎，則應該是前面剛剛掌握的平行四邊形面積計算方法，策略經驗則應該是利用轉化的策略把三角形轉化成平行四邊形，具體方法是剪拼，不少教師在上這節課時都是一下子給出一個一般三角形，期望學生能從不同角度給出多種方法。事實上，利用剪拼的方法把三角形轉化成平行四邊形對五年級學生來說是很難的，這樣的設計不僅得不到預約的精彩，還有可能引發學生學習數學的挫敗感。對這節課的教學，我們不妨降低學生的認識起點：先給出一個特殊的三角形：等腰三角形，想一想，可以轉化成什么圖形，怎么轉化？再給出一個直角三角形，想一想，可以轉化成什么圖形，怎么轉化？這樣學生就很容易從剪拼法過渡到組拼法，從而順利完成下面的探究任務。這樣的設計，不僅利于學生完成新知的學習，更重要的是延長了不同層次的學生真正參與課堂教學的時間。

二、展示學習過程，讓思維變“厚”

在數學課上要重視學生的參與，既重視學生數學技能訓練的參與，更重視學生數學思維的深度參與。教師要讓學生經歷數學知識形成的過程，讓學生在“經歷”中發散思維，總結方法，經驗，提高能力。下面是筆者執教《小數的大小比較》一課的片段：

師：誰來說說，0.6和0.7比，誰大？（無人應答，我的心里很著急，一句“真笨”差點脫口而出。但一想前兩天學校數學素質比賽我們班級代表隊鎩羽而歸的情景，我忍住了，我想：他們需要我給予他們更多的時間，我決定放慢腳步。）

師：沒關系，你可以憑直覺猜一猜。

（過了一會兒，有一生舉手。）

生：我覺得0.7大。

師：能用恰當的方法證明你的猜想嗎？（搖頭）

師：看看你們課前畫的圖呢？

（又過了一會兒，一生舉手。）

生：0.7涂得多呢！

師：他說的有道理嗎？（學生不假思索，紛紛點頭。）

師：大家對他說的話一點意見也沒有嗎？（有學生露出疑惑的表情。）

師出示兩個不一樣大的正方形，生思考，終于有人舉手。

生：把兩個一樣大的正方形看成整體1，都平均分成10份，涂7格要比涂6格的多。所以0.7要比0.6大。

師：用這種方法比小數的大小行嗎？

生4：行是行，就是太麻煩了。

生5：我發現了，0.7有7份，0.6里只有6份，所以0.7比0.6大。（其余學生紛紛點頭。）

師：份數多的數就大嗎？

生：嗯，當然。

師：一定嗎？（學生依然不能做出反思，我靈機一動，從口袋里掏出7枚硬幣和6張10元幣。）

生1（立即舉手）：0.7有7個01，0.6里只有6個0.1，所以0.7比0.6大。

生2：比較兩個小數的大小，我們就是要看看哪個里面計數單位的個數多。

師：同意嗎？

生：同意。

師：比一比，0.07和0.6誰大？為什么？

生1：0.07大，它里面有7個0.01呢？（此時，生1的回答被打斷。）

生2：不對，在計數單位一樣時，誰的個數多，誰就大。（接下來，有不少同學發表同樣的看法，這時，一生提出了問題。）

生3：那計數單位不一樣，怎么比呢？

（學生主動進行討論交流，他們已經忘了老師的存在。）

生1：0.6里有6個0.1，可以換成60個0.01來比嘛！

生2：0.07還不足0.1呢，當然沒有0.6大！

生3：用兩個一樣大的正方形分一分，涂一涂就看出來了。

生4：如果把他們都想成是錢的話，0.07元相當于7分錢，0.6元相當于6角呢！

……

師：剛才我們利用多種方法比較出兩個小數的大小，可是，每次都慢慢想道理也挺煩的，你能聯系整數大小比較的方法，說一說，小數的大小怎么比較，再利用自己總結的方法，試著比兩個小數的大小，看一看，你的方法靈不靈。

……

說實話，上課前，我認為學生憑借這么多年的經驗的積累，應該很容易比較出兩個小數的大小，根據整數大小比較的方法也應該能順利地遷移到小數的大小比較中。但事實并非如此，是因為學生笨嗎？顯然不是。是因為學生的數學思維能力沒有得到科學有序的發展，是因為學生手中擁有的解決問題的武器少之又少。課上完后，我無比慶幸：我無意中的一次等待讓孩子們思維勃發，他們在一次次的思維碰撞中表現出了極強的自我批判、自我完善、去同求異的意識和能力，相對于接受刻板的數學知識，前者更重要。

三、重視數學結構化，讓思維變“寬”

數學學科一個很重要的特征就在于它的結構化，這種結構化既表現在數學知識分條塊螺旋上升，又表現在數學方法對解決同一類問題的普適性。在平時的教學中，教師花一定的時間有意識地向學生呈現數學的結構化特點，就能使學生提高對數學知識深層建構的能力，增強學生對數學思想方法的領悟能力，使學生數學思維變寬，進而切實提高學生對數學思想方法“調兵遣將”的能力，即數學學習能力。我選取一個《小數加減法》的例子，與大家分享我的心得：

師：孩子們，前面我們已經認識了小數，據你的估計，接下來，我們可能研究什么？

生1：計算。

師：你怎么會這樣想？

生：整數中我們就是這樣學的。

師：那你們想一想，我們先研究什么比較好？

生：加法吧，加法簡單些。

生2：我也認為加法，會加了，才會乘呢。

生3：減法是加法的逆運算，沒有加，哪來減??！

生4：加法的可能性大，因為過去我們也是先學加法，再學其他的運算的。

師：好的，就按你們的意見辦！你能說一道小數加法嗎？（生舉例：0.1+0.2，0.3+0.06，99.7+0.85）

師：說一說，哪一題你有把握算？

生：0.1+0.2=0.3。

師：你是怎么想的？

生：1個0.1加上兩個0.1，一共3個0.1就是0.3。

師：誰會算0.3+0.06？

生1：3個加6個就是9個，所以得0.9。

生2：不對，這里3個不能加6個，因為計數單位不一樣。

生3：把3個0.1換成30個0.01，就能和6加了。

師：換一換其實達到了什么目的？

生：計數單位一樣的兩個數能直接相加。

師：你怎么知道的？

生：整數加法中老師就是這么講的。

師：99.7+0.85呢？

生：太復雜了，列豎式算。

師：怎么列呢？

生1：像整數加法一樣，數位對齊。

生2：相同數位對齊。

師：那就請同學們自己動手算一算吧！

……

師：回顧剛才計算的過程，你能總結一下，怎樣又快又好地進行小數加減法的計算呢？

生1：和整數加減法一樣，借助豎式，相同數位對齊，從低位算起。

生2：加法時滿十進一，減法退位時借一當十。

……

在這節數學課上，教師花了不少時間和精力讓學生去想：我們認識小數后，接下來會學什么？如果是計算，你猜應該會先學什么？引導學生走進數學世界，像一個數學家一樣經歷數學研究的過程，體會數學的發展過程；帶領學生站在課程建設者的高度審視自己的數學學習歷程，為學生今后研究、思考數學提供方向。在涉及具體的小數加減計算時，教師嘗試讓學生自己去研究，不管是具體的運算方法還是方法背后隱藏的算理，教師都愿意花上時間，等待學生自己去發現，去調整，去總結，去對比，去反思。學生沒有讓教師失望，他們不僅自己憑直覺遷移了整數加減計算的方法，而且在和同伴的合作交流、思維碰撞中理解了這樣做的道理何在，更難能可貴的是學生主動選擇了計算的形式：遇到復雜的小數加減計算，可以用豎式。

著名的諾貝爾生理醫學獎獲得者麥克林·托克說：“我是一朵在深秋開放的雛菊，我堅信，不是每一朵花都在春天開放?！弊屛覀冎匾暶恳粋€學生在數學上的最優發展，靜靜等待花開。在今天，我們可能還不能看到花開的樣子，但在十年后，二十年后……花兒一定會開放。有勇氣和智慧走在這個等待過程中的你，一定能時時、處處聽到花開的聲音。