實(shí)負(fù)定二次型的判別與證明

摘 要： 本文給出六種方法判斷二次型的負(fù)定性，便于學(xué)生更好地解決問題.

關(guān)鍵詞： 負(fù)定矩陣 二次型 對稱矩陣

實(shí)負(fù)定（負(fù)定矩陣）二次型的判別方法通常有以下幾種：（1）定義法；（2）負(fù)慣性指數(shù)等于n；（3）順序主子式的奇數(shù)階主子式為負(fù)，而偶數(shù)階主子式為正；（4）通過與矩陣-E合同；（5）二次型矩陣的特征值都為負(fù)；（6）存在可逆實(shí)矩陣P，使A+P′P=0[1].二次型負(fù)定的必要條件是它的矩陣的主對角線上的元素都為0，可幫助排除非負(fù)定的二次型.下面通過實(shí)例分析以上方法的具體應(yīng)用.

例1：判定二次型f=2xx+2xx-6xx的負(fù)定性.

解：f的矩陣為A=0 1 11 0 -31 -3 0，由負(fù)定矩陣的必要條件可知此二次型不是負(fù)定二次型.

例2：判定二次型f=-5x-6x-4x+4xx+4xx的負(fù)定性.

解：方法1：f的矩陣為A=-5 2 2 2 -6 0 2 0 -4，a=-5<0，-5 2 2 -6=26>0，-5 2 2 2 -6 0 2 0 -4=80<0，所以由順序主子式法可知此二次型是負(fù)定二次型.

方法2：|λE-A|=λ+5 -2 -2 -2 λ+6 0 -2 0 λ+4=（λ+8）（λ+5）（λ+2）=0，所以λ=-8，λ=-5，λ=-2，有特征值法可知此二次型為負(fù)定二次型.

方法3：應(yīng)用初等變換法對二次型配方，化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型為f=-5y-（26/5）y-（68/65）y，負(fù)慣性指數(shù)為3，所以此二次型是負(fù)定二次型.

例3：如果A，B都是n階負(fù)定矩陣，則A，A+B也是負(fù)定矩陣.

證明：因?yàn)锳是負(fù)定的，所以A可逆，而且存在可逆實(shí)矩陣P，使A+P′P=0，A=-P′P，等式兩邊同時(shí)取逆，A=（-P′P），A=-P（P）′，A+P（P）′=0，所以A是負(fù)定矩陣.

因?yàn)锳，B都是n階負(fù)定矩陣，所以對于任意實(shí)向量x≠0，有x′Ax≠0，x′Bx≠0，所以，x′（A+B）x=x′Ax+x′Bx≠0由負(fù)定二次型的定義可知，A+B也是負(fù)定矩陣.

例4：已知A是可逆矩陣，證明-A′A是負(fù)定的.

證明：因?yàn)椋?A′A）-A′A=-A′A，-A′A，所以是對稱的，-A′A=A′（-E）A，所以-A′A和-E是合同的，則-A′A是負(fù)定的.

例5：已知A是n階負(fù)定矩陣，判斷A（k為大于1的正整數(shù)）的負(fù)定性.

解：因?yàn)锳是負(fù)定矩陣，所以A的特征值都為負(fù)，設(shè)它的特征值分別為λ，λ，…，λ，則A的特征值為λ，λ，…，λ.設(shè)當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，A的特征值均為正的，所以A為正定矩陣；而當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，A的特征值均為負(fù)，所以A為負(fù)定矩陣.

參考文獻(xiàn)：

[1]李秀英.負(fù)定二次型與半負(fù)定二次型[J].通化師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2002，23（2）.