一道幾何題引發的思考

題目[1]：如圖1所示：兩個重疊的等邊三角形，△ABC與△ADE以A為旋轉中心，逆時針旋轉40°.

（1）求∠DAC的值；（2）連接AH時，在不添加其他輔助線的情況下，是否存在與AH垂直平分的線段？

解：（1）因為△ABC與△ADE為等邊三角形，

所以∠DAC=60°-40°=20°.

（2）連接CD，則有：

∠ACD=∠ADC，∠ACH=∠ADH=60°

∴∠HCD=∠HDC

∴CH=DH

∴AH垂直平分線段CD

連接EB

∵∠ABE=∠AEB，∠AEH=∠ABH=60°

∴∠HEB=∠HBE

∴EH=BH

∴AH垂直平分線段EB

提問1：當旋轉角為α（0<α<60°）時，會有怎樣的結論？

回答：當旋轉角為α（0<α<60°）時，（1）∠DAC=60°-α，（2）AH垂直平分線段CD和EB.

證明：如圖2，

（1）因為△ABC與△ADE為等邊三角形，

所以由圖知：∠DAC=60°-α.

（2）證明：同原題中（2）的證明.

（1）因為△ABC與△ADE為等邊三角形，

所以由圖知：∠DAC=60°-α.

提問2：對于正方形而言，旋轉角為α（0<α<45°）時，會有怎樣的結論？

回答：當旋轉角為α（0<α<45°）時，（1）∠CAF=α，（2）AH垂直平分線段CF和EG.

證明：如圖3，

（1）由圖3知：∠BAC=∠FAG=45°

所以∠CAF=90°+α-45°-45°=α

（2）連接CF

∵AC=AF

∴∠ACF=∠AFC，∠ACH=∠AFH

∴∠HCF=∠HFC

∴HC=HF

∴AH垂直平分線段CF

連接DE

∵AE=AD

∴∠AED=∠ADE

∴∠AEH=∠ADH

∴∠HDE=∠HED

∴HD=HE

∴AH垂直平分線段DE

由提問1和提問2知，原題中的結論是否成立與圖形的邊數是奇數還是偶數有關.

命題1：兩個重合的正n邊形，AA…A和AB…B，以A為旋轉中心，逆時針旋轉α（0<α<），

（1）當n為奇數時，∠AAB=-α，且AH垂直平分線段AB和AB；

（2）當n為偶數時，∠AAB=α，且AH垂直平分線段AB和AB.

證明：（1）如圖4，

作點A的所有對角線，將∠AAA分成（n-2）個度數為的小角，旋轉角α.

由圖知，∠AAB=-α-=-α

連接AB

∵n邊形A…A與A…B全等

∴AA=AB

∴∠ABA=∠AAB，∠ABH=∠AAH

∴∠HBA=∠HAB，即BH=AH

∴AH垂直平分線段AB

連接AB

∵n邊形A…A與A…B全等

∴AA=AB

∴∠ABA=∠AAB，∠ABH=∠AAH

∴∠HBA=∠HAB，即BH=AH

∴AH垂直平分線段AB

（2）如圖5，

作點A的所有對角線，將∠AAA分成（n-2）個度數為的小角，旋轉角α.

由圖知，∠AAB=+α-=α

連接AB

∵n邊形A…A與A…B全等

∴AA=AB

∴∠ABA=∠AAB，∠ABH=∠AAH

∴∠HBA=∠HAB，即BH=AH

∴AH垂直平分線段AB

連接AB

∵n邊形A…A與A…B全等

∴AA=AB

∴∠ABA=∠AAB，∠ABH=∠AAH

∴∠HBA=∠HAB，即BH=AH

∴AH垂直平分線段AB

命題2：兩個重合的正n邊形，AA…A和AB…B，以A為旋轉中心，逆時針旋轉α（α>）.

（1）當n為奇數時，∠AAB=α-，且AH垂直平分線段AB和AB；

（2）當n為偶數時，∠AAB=α，且AH垂直平分線段AB和AB.

證明：（1）如圖6，

作點A的所有對角線，將∠AAA分成（n-2）個度數為的小角，旋轉角α.

由圖知，∠AAB=+α-=α-.

證明：AH垂直平分線段AB和AB過程同命題1中證明AH垂直平分線段AB和AB過程.

（2）如圖7，

證明過程同命題1中（2）的證明過程.

以上討論，經歷了由簡單到復雜，具體到抽象的完整過程，不僅加深了我們對這道題的認識，更重要的是體會了探究解題的方法和樂趣.

參考文獻：

[1]曲一線.初三《三年中考五年模擬》.教育科學出版社，2012，10.