尋找二面角的平面角的方法

摘 要： 二面角是高中立體幾何中的一個重要內容，也是一個難點.學生常感到無從下手是因為沒有掌握尋找二面角的平面角的方法.尋找二面角的平面角的實質其實就是找一個平面與交線垂直.

關鍵詞： 二面角 平面角 交線 垂直

二面角是高中立體幾何中的一個重要內容，廣東理科數學高考從2010年開始連續4年都考了求二面角的平面角，這個內容也是一個難點.對于二面角方面的問題，學生往往無從下手，他們并不是不會構造三角形或解三角形，而是沒有掌握尋找二面角的平面角的方法.

在教學中我試過把尋找二面角的方法分成：定義法、三垂線法介紹給學生，但學生掌握得并不好。特別是三垂線法，因為并不要求學生掌握三垂線定理，學生對這個定理感到非常陌生，更別提應用了.于是我換了種方式教授，課本上是這樣定義二面角的平面角的：以二面角的棱上任意一點為垂足，在兩個半平面內分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角.由定義可得兩射線所確定的平面與棱垂直，也就是說找二面角的平面角可從找交線的垂面入手，即找兩條相交直線與交線垂直.學生聽我這一講立即就來勁了，說：“這簡單.”

我立即用了幾道題檢驗，學生感覺容易多了.

例1：（廣東高考2011年18題）如圖1，在椎體P-ABCD中，ABCD是邊長為1的棱形，且∠DAB=60°，PA=PD=，PB=2，E，F分別是BC，PC的中點，

（1）證明：AD⊥平面DEF；

（2）求二面角P-AD-B的余弦值.

解：（1）證明：設AD中點為H，連接PH，BH，

∵PA=PD，∴PH⊥AD，AH=，AB=1，∠DAB=60°

可得出BH==，

從而AH+BH=AB，

∴AH⊥HB，即AD⊥HB，

∴∠PHB就是面角P-AD-B的平面角.

以下求解略.

高考結束后，學生反映：開始時第（1）小題不會做，只能先做第（2）小題，在做第（2）小題的過程中，發現PH⊥AD，AD⊥HB，所以AD⊥平面PHB，從而把第（1）小題也解決了.

例2：如圖3，已知正三棱柱ABC-ABC的底面正三角形的邊長是2，D是CC的中點，直線AD與側面BBCC所成的角是45°，求二面角A-BD-C的正切值.

分析：因為直線AD與側面BBCC所成的角是45°，所以學生都會在第一時間找直線AD與側面BCCB所成的角，由正三棱柱的性質可知：面ABC⊥面BCCB，AB=AC.學生首先取BC中點E，連接AE，可證得AE⊥平面BCCB，所以AE⊥交線BD.在圖中再也找不到第二條直線與BD垂直了，于是學生想到了作輔助線，而這條輔助線應與AE相交，所以有的過E作EF⊥BD，連接AF，有的過A作AF⊥BD，連接EF（如圖4），都可證得BD⊥平面AEF，可得∠AFE到就是二面角A-BD-C的平面角.學生解題思路一下子就打開了.

例3：如圖5，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，∠BAD=60°，Q為AD的中點.

（1）若PA=PD，求證：平面PQB⊥平面PAD；

（2）點M在線段PC上，PM=tPC，試確定t的值，使PA∥平面MQB；

（3）在（2）的條件下，若平面PAD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，求二面角M-BQ-C的大小.

求解此題的第（3）小題時，若從定義入手，則在平面BQC中顯然找到QD⊥QB，在平面QBM中很難找到一條直線與QB垂直.但若先找BQ的垂線，由平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，AD⊥BQ（由第（1）小題證得），可得BQ⊥平面PAD，所以BQ垂直平面PAD內任何一條直線，即PA⊥BQ，第（2）小題曾證明PA∥MN（如圖6），也就是說BQ⊥NM，所以AD與PA所成的角∠PAD=60°（因為PA=PD=AD=2）即為所求.

找二面角的平面角的實質就是找兩條相交直線與交線垂直，這種方法的好處在例3中更能體現出來.

通過以上分析和舉例說明，尋找二面角的平面角的方法比較容易.只要抓住問題的本質，關于二面角的平面角的問題就能迎刃而解.

參考文獻：

[1]普通高中課程標準實驗教科書數學必修2.人民教育出版社.