高等代數中的幾個等價關系中“等”的涵義

　　摘要： 本文分別具體討論了高等代數課程中的幾個等價關系：矩陣等價，向量組等價，矩陣相似，矩陣合同中的“等”字背后的涵義.
　　關鍵詞： 等價關系矩陣向量組相似矩陣合同矩陣
　　
　　一個給定的集合中的元素之間的一個關系如果滿足下面三個性質：（1）自反性，（2）對稱性，（3）傳遞性，我們稱該關系為等價關系（equivalence relation［1］）。在高等代數課程中有幾個重要的等價關系，就是矩陣的等價，向量組的等價，矩陣的相似，矩陣的合同這四個等價關系。既然稱之為等價關系，那么這里的“等”字是否意味著什么相等呢？本文主要探討這些等價關系中“等”字的涵義。希望通過討論，豐富對等價關系的感性認識，加深對代數學中這一基礎概念——等價關系的理解。
　　一、矩陣的等價
　　對于矩陣A、B，如果A經過有限步初等變換成為B，則稱矩陣A與B等價［2］。根據矩陣初等變換的定義，可以驗證矩陣之間的這樣的關系滿足等價關系的三個性質，因此稱之為矩陣的等價。
　　矩陣等價，這個“等”字之后意味著什么相等呢？如果矩陣A和B等價，也就是A經過有限次的初等變換可以變成B，可見A與B首先得同型，即有相同的行數和列數；否則，A無論如何都不能變換成B。其次，A和B應該有相同的秩，即r（A）=r（B）；因為初等變換不改變矩陣的秩。反之，如果矩陣A和B同型且有相同的秩，是不是A與B等價呢？答案是肯定的。一個矩陣通過初等變換總會變換成它的標準型，其標準型中左上角的單位子矩陣的階等于該矩陣的秩。如果矩陣A和B同型且有相同的秩，則A和B有相同的標準型，即A和B與同一個標準型等價，因此矩陣A和B等價。可見矩陣等價中的“等”字，實際是指它們同型且有相同的秩。我們把上面的討論歸結為下面的定理。
　　定理1：矩陣A和B等價的充要條件是它們的行數、列數和秩都對應相等。
　　二、向量組的等價
　　設向量組A：α■，α■，…，α■；B：β■，β■，…，β■，若向量組B中的向量都能由A中的向量線性表示；反之亦然。那么稱向量組A和B等價［2］?？梢宰C明在該定義下這是一個等價關系。這個“等”字背后意味著什么相等呢？我們不妨把目光集中在實數域R上的向量和向量空間上。
　　對于向量組A，其中的向量可以以實數為系數線性生成一個實數域上的線性空間，簡稱為A生成的空間，記作span（A）；同樣也有span（B）。如果向量組A和B等價，則B中的向量都能由A中的向量線性表示，因此span（B）中的任意向量也可以由A中的向量線性表示，則有span（B）?哿span（A）；反之亦有span（A）?哿span（B）。因此span（A）=span（B）。另一方面，如果span（A）=span（B），由于B?哿span（B），故B?哿span（A）。因此B中的向量都能由A中的向量線性表示；同理，A中的向量也可以由B中的向量線性表示，則向量組A和B等價。由上面討論可見向量組A和B等價，這個“等”字意味著它們的生成空間相等。即有下面的結論。
　　定理2：向量組A和B等價的充要條件是span（A）=span（B）。
　　三、矩陣的相似
　　設A和B是兩個n階矩陣，若存在n階可逆矩陣P，使得A=P■BP，那么稱矩陣A和B相似［4］。矩陣的相似關系是一個等價關系，那么這個“等”字背后意味著什么相等呢？
　　我們考慮一個n維線性空間上的線性變換（如果矩陣A和B是數域F上的矩陣，那么就考慮F上的一個n維線性空間）。對于一個線性變換σ，取該n維空間的一個基ε■，ε■，…，ε■，如果我們描述清楚了該基中向量在σ下的像，那么就描述清楚了該線性變換σ；這是因為σ是一個線性變換。設聯系基的像σ（ε■，ε■，…，ε■）與基ε■，ε■，…，ε■之間的過渡矩陣為A，σ（ε■，ε■，…，ε■）=（ε■，ε■，…，ε■）A。即，我們用矩陣A來表述了基的像，因此用矩陣A完全刻畫線性變換σ；換言之，線性變換表示成為一個方陣。
　　問題是：同一個線性變換σ，如果選定該n維空間的另外一個基β■，β■，…，β■，那么刻畫σ的矩陣就會是另一個矩陣B。但是此時我們會發現矩陣A和B相似，即存在n階可逆矩陣P，使得A=P■BP，其中恰有（ε■，ε■，…，ε■）=（β■，β■，…，β■）P。
　　另一方面，設矩陣A和B相似，A=P■BP。取該n維空間的一個基ε■，ε■，…，ε■，則由（ε■，ε■，…，ε■）A決定了一個線性變換σ，即σ（ε■，ε■，…，ε■）=（ε■，ε■，…，ε■）A；換言之，一個方陣實際在描述著一個線性變換。令（β■，β■，…，β■）=（ε■，ε■，…，ε■）P■，則β■，β■，…，β■也是一個基，那么矩陣B在基β■，β■，…，β■下也在描述著一個線性變換σ■，即σ■（β■，β■，…，β■）=（β■，β■，…，β■）B。實際上，σ■=σ，因為σ（ε■，ε■，…，εn）=σ■（ε■，ε■，…，ε■）。
　　在上面的討論之下，可以籠統說，n維空間的線性變換表示為一個方陣，一個方陣實際在表達一個線性變換。矩陣A和B相似等價，這個“等”字實是指它們在表達著同一個線性變換。準確地說有如下定理。
　　定理3：n階矩陣A和B相似充要條件是它們是n維線性空間的同一個線性變換在不同基下所對應的矩陣。
　　四、矩陣的合同
　　設A和B是兩個n階矩陣，若存在n階非退化矩陣P，使得A=P■BP，其中P■是P的轉置矩陣，那么稱矩陣A和B合同■。合同關系是一個等價關系，這個“等”字指的是什么相等呢？對稱矩陣只能和對稱矩陣合同，我們只在對稱矩陣之中討論合同關系。
　　一個n階對稱方陣A對應著一個n元二次型X■AX，此時稱該二次型為A的二次型，矩陣A稱為二次型X■AX的矩陣。如果A和B是數域F上的兩個n階矩陣，那么它們對應著數域F上的二次型。任何一個二次型通過非退化的線性變換可以化為規范型形式的二次型。如果對稱矩陣A和B合同，A=P■BP，那么X■AX通過非退化的線性變換Y=PX可以化為B的二次型Y■BY。因此A和B的二次型有相同的規范型。反之，如果A和B的二次型有相同的規范型，則A和B合同于同一個規范型的矩陣，故A和B合同。所以對稱矩陣A和B合同等價，這一“等”字是指它們的二次型的規范型等同。從幾何直觀來看，二次型是n維空間F■的曲線，不同的規范型代表不同的曲線類型。矩陣A和B合同等價，是指它們對應的曲線類型相同。例如在R■（R為實數域）中，x■+y■代表的是橢圓類二次曲線，而x■-y■代表的是雙曲線類二次曲線。
　　定理4：對稱矩陣A和B合同充要條件是它們的二次型的規范型相同。
　　
　　參考文獻：
　?。?］J.J.Rotman.Advanced Modern Algebra（抽象代數，影印版）［M］.北京：高等教育出版社，2004.
　?。?］北京大學數學系幾何與代數教研室前代數小組編.王萼芳，石生明修訂.高等代數（第三版）［M］.北京：高等教育出版社，2003.
　?。?］劉仲奎等.高等代數［M］.北京：高等教育出版社，2003.
　?。?］吳贛昌.線性代數（經管類，第四版）［M］.北京：中國人民大學出版社，2011.