例談構造法解題

　　構造法是通過構造圖形、函數、事例等解決數學問題的一種方法.對于某些題目，如果能恰當地運用構造法，就會使問題得到巧妙簡捷的解決，現舉要如下.
　　一、構造事例
　　例1：求證C■■+C■■+C■■…+C■■=2■
　　證明：集合｛a■，a■，a■，…，a■｝的子集個數是C■■+C■■+C■■…+C■■.
　　另外，求該集合的子集個數也可這樣進行：分n個步驟，每一步都有2種方法，即a（i=1，2，3，…，n）選或不選，從而得子集個數為2■.
　　∴C■■+C■■+C■■…+C■■=2■.
　　例2：求（a+b+c）■展開式共有多少項.
　　解：（a+b+c）■展開式中的項為a■b■c■，其中m+n+l=10（m，n，l∈N），于是就轉化為求該不定方程的非負整數解有幾解.
　　現構造事例如下：畫12個“O”，將其中兩個“O”用“/”劃去，記剩下的10個“O”在兩劃線“/”的左中右的個數為（比如?覫?覫OOOOOOOOOO表示m=0，n=0，l=10），那么不定方程的每一非負整數解對應于此事例中的一種劃法，反過來此事例中的每一種劃法對應于該不定方程的一個非負整數解.
　　∴（a+b+c）■展開式項數為C■■=66.
　　問題（2012陜西理，8）：兩人進行乒乓球比賽，先贏3局者獲勝，決出勝負為止，則所有可能出現的情形（各人輸贏局次的不同視為不同的情形）共有（?搖?搖）
　　A.10種?搖?搖?搖?搖B.15種?搖?搖?搖?搖C.20種?搖?搖?搖?搖D.30種
　　分析：問題相當于在OOOOO中取到3個的為勝者，比如取到當中3個的，則此人第一局輸，第二、三、四局贏，共比賽四局.故共有2C■■=20種情形，選C.
　　二、構造圖形
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　例1：已知正四面體A-BCD的棱長為a，求
　　（1）外接球的半徑；
　　（2）與棱都相切的球的半徑.
　　分析：（1）構造一個正方體，使正四面體的各棱為正方體的面對角線，那么正方體的外接球就是正四面體的外接球.
　　易得正方體的半徑為■a，故外接球的半徑為■·■·■a=■a.
　　（2）所求的球即為上題中構造的正方體的內切球，故所求半徑為■·■a=■a.
　　例2：已知x，y，z∈（0，1），求證：x（1-y）+y（1-z）+z（1-x）＜1.
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　證明：構造邊長為1的正三角形ABC，
　　在邊AB、AC、BC上分別取點D、E、F，
　　使AD=x，CE=y，BF=z，
　　則BD=1-x，AE=1-y，CF=1-z.
　　由△ADE、△CEF、△BFD的面積之和小于△ABC的面積，得
　　■x（1-y）+■y（1-z）+■z（1-x）＜■，即x（1-y）+y（1-z）+z（1-x）＜1.
　　三、構造函數（或式子）
　　例1：證明：（a■■+a■■+…+a■■）（b■■+b■■+…+b■■）≥（a■b■+a■b■+…a■b■）■.
　　分析：要證明原不等式，只需證明
　　4（a■■+a■■+…+a■■）（b■■+b■■+…+b■■）≥［2（a■b■+a■b■+…+a■b■）］■.
　　由此聯想到一元二次函數根的判別式，故可構造一個二次函數.
　　證明：構造函數
　　y=（a■■+a■■+…+a■■）x■+2（a■b■+a■b■+…+a■b■）x+（b■■+b■■+…+b■■）（*）
　　即y=（a■x+b■）■+（a■x+b■）■+…+（a■x+b■）■，易知對任意x∈R，總有y≥0.
　　（1）若a■■+a■■+…+a■■=0，即a■=a■=…a■=0，所證不等式顯然成立；
　　（2）若a■■+a■■+…+a■■＞0，則（*）中△=［2（a■b■+a■b■+…+a■b■）］■-4（a■■+a■■+…+a■■）（b■■+b■■+…+b■■）≤0，則所證不等式成立.
　　綜上，所證不等式總成立。
　　例2：求sin18°值.
　　分析：構造一個與sin18°有關的等式，然后通過解方程求得sin18°的值.
　　解：∵sin36°=cos54°
　　∴2sin18°cos18°=4cos■18°-3cos18°
　　即2sin18°=4cos■18°-3
　　化為4sin■18°+2sin■18°-1=0
　　解得sin18°=■（舍去）或sin18°=■
　　∴sin18°=■