例析因式分解的方法

　　摘要： 本文歸納了因式分解的一些基本方法，并通過例題解析進行示范，希望對廣大師生的教與學有所幫助.
　　關鍵詞： 多項式因式分解公式方法
　　
　　因式分解又稱分解因式，是對多項式進行的一種恒等變形，它要求把每一個因式分解到不能再分解為止，結果的特征是保留積的形式.其方法靈活，技巧性強，學習這些方法，不僅是掌握因式分解內容所必需的，而且對于培養學生的解題技能，發展學生的思維能力，都有著十分獨特的作用.現將因式分解的幾種方法列舉如下.
　　一、提公因式法
　　一般地，如果多項式的各項有公因式，就可以把這個公因式提到括號外面，將多項式寫成因式乘積的形式.
　　二、運用公式法
　　由于分解因式與整式乘法有著互逆的關系，如果把乘法公式反過來，那么就可以用來把某些多項式分解因式.
　　三、分組分解法
　　把一個多項式分組后，再進行分解因式的方法.分組分解法必須有明確的目的，即分組后，可以直接提公因式或運用公式.
　　四、十字相乘法
　　對于mx■+px+q形式的多項式，如果a×b=m，c×d=q，且ac+bd=p，則多項式可因式分解為（ax+d）（bx+c）.
　　五、配方法
　　對于那些不能運用公式法分解的多項式，有的可以先將其配成一個完全平方式，再利用平方差公式，最終將其因式分解.
　　例1：分解因式4y■-x■+2x-1sOxc76K5NL4xNMU6CGfnzmeid3kl55N5vqlypHVvsJA=
　　解：原式=4y■-（x■-2x+1）=（2y）■-（x-1）■=（2y+x-1）（2y-x+1）
　　六、拆、添項法
　　將多項式的某一項或幾項適當拆成幾項（或在所給多項式中加、減相同的項），再用基本方法分解，會使問題迎刃而解.
　　例2：分解因式x■+6x■+11x+6
　　解:原式=（x■+2x■）+（4x■+8x）+（3x+6）=x■（x+2）+4x（x+2）+3（x+2）=（x+2）（x■+4x+3）=（x+2）（x+1）（x+3）
　　七、換元法
　　有些多項式在分解因式時，可以把其中相同的部分換成另一個未知數，然后進行因式分解，最后再轉換過來.
　　例3：分解因式（a+b-2ab）（a+b-2）+（ab-1）■
　　解：設a+b=x，ab=y，則
　　原式=（x-2y）（x-2）+（y-1）■=x■-2xy+y■-2x+2y+1=（x-y）■-2（x-y）+1=（x-y-1）■=（a+b-ab-1）■=［（a-1）（1-b）］■=（a-1）■（b-1）■
　　八、求根法
　　令多項式f（x）=0，求出其根為x■，x■，x■，…x■，則多項式可因式分解為f（x）=（x-x■）（x-x■）（x-x■）…（x-x■）.
　　例4：分解因式x■+5x■+5x■-5x-6.
　　解：令f（x）=x■+7x■-2x■-13x+6=0，通過綜合除法可知，f（x）=0的根為-1，-2，-3，1，則原式=（x+1）（x+2）（x+3）（x-1）.
　　九、主元法
　　對于含有兩個或兩個以上字母的多項式，若無法直接分解，則可先選定一個字母為主元，然后把各項按這個字母次數從高到低排列，再進行因式分解.
　　例6：分解因式x■-3x■+x■y+2x■-2xy
　　分析：此題可選定y為主元，將其按次數從高到低排列.
　　解:原式=y（x■-2x）+（x■-3x■+2x■）=xy（x-2）+x■（x-2）（x-1）=x（x-2）（x■-x+y）
　　十、利用特殊值法
　　將x用2或10代入，求出數M，再將數M分解質因數，將質因數適當地組合，并將組合后的每一個因數寫成2或10的和與差的形式，最后將2或10還原成x，即得因式分解式.
　　例5：分解因式a■+9a■+23a+15
　　解:令a=2，則原式=8+36+46+15=105，將105分解成3個質因數的積，即105=3×5×7.注意到多項式中最高項的系數為1，而3、5、7分別為a+1，a+3，a+5在a=2時的值，則原式=（a+1）（a+3）（a+5）.
　　十一、待定系數法
　　先判斷出分解因式的形式，再設出相應整式的字母系數，求出字母系數，從而把多項式因式分解.
　　例6：分解因式x■-x■-5x■-6x-4.
　　分析：易知這個多項式沒有一次因式，因而只能分解為兩個二次因式.
　　解：設原式=（x■+ax+b）（x■+cx+d）=x■+（a+c）x■+（ac+b+d）x■+（ad+bc）x+bd，則
　　a+c=-1ac+b+d=-5ad+bc=-6bd=-4
　　解得a=1，b=1，c=-2，d=-4，則原式=（x■+x+1）（x■-2x-4）.
　　總之，多項式因式分解的方法比較多，而各種方法通常不是單獨使用的，往往要配合使用.在分解因式之前，要細心分析和觀察它的結構特點，判斷該用哪一種方法.最常用的是提取公因式法、運用公式法、分組分解法和十字相乘法，分解因式時首先判斷能不能用以上四種方法解決，如不能再考慮用其他方法.