數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用

摘要：數(shù)形結(jié)合是把數(shù)或數(shù)量關(guān)系與圖形對應(yīng)起來，借助圖形來研究數(shù)量關(guān)系，或者利用數(shù)量關(guān)系來研究圖形性質(zhì)的一種方法。它可以使抽象的問題具體化、復(fù)雜的問題簡單化，同時它也是高考要求考查的數(shù)學(xué)思想方法之一。

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合 思想

中學(xué)數(shù)學(xué)的基本思想方法有轉(zhuǎn)化（或化歸）的思想，分類討論的思想，數(shù)形結(jié)合的思想，觀察、歸納、猜想的思想，函數(shù)、方程、不等式的思想。數(shù)形結(jié)合是把數(shù)或數(shù)量關(guān)系與圖形對應(yīng)起來，借助圖形來研究數(shù)量關(guān)系或者利用數(shù)量關(guān)系來研究圖形的性質(zhì)，它是一種重要的數(shù)學(xué)思想。“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微”，利用數(shù)形結(jié)合思想可以深刻地揭示數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)。

一、以形示數(shù)

例1.設(shè)f（x）=x2，x≥1，x，x<1，g（x）是二次函數(shù)。若

f（g（x））的值域是[0，+∞），則g（x）的值域是（ ）。

A.（-∞，-1]U[1，+∞）

B.（-∞，-1]U[0，+∞）

C.[0，+∞）

D.[1，+∞）

解析：因為是g（x）二次函數(shù)，值域不會是A、B。畫出函數(shù)y=f（x）的圖像可知，當(dāng)g（x）值域是[0，+∞）時，f（g（x））的值域是[0，+∞），故答案選C。

二、以數(shù)助形

例2.求函數(shù)y=|x+2-■|的單調(diào)區(qū)間。

解析：原函數(shù)變形為y=■·■，將其中■理解為動點（x，■）至直線l：x-y+2=0的距離即可，不難得出動點（x，■）的軌跡為單位圓的上半部分，OB⊥l，A（-■，-■）；OA⊥l，B（-■，-■） l：x-y+2=0

從而得出函數(shù)y=f（x）在x∈[-1，-■]是減函數(shù)，在x∈[-■，1]是增函數(shù)。

點評：觀察圖形時，既要定性也要定量。在借助圖形完成某道題目時，僅畫圖示“意”是不夠的，還必須反映出圖形中的數(shù)量關(guān)系，注意“數(shù)”的嚴(yán)謹(jǐn)，才能充分發(fā)揮圖形的判定作用。

例3.已知A（1，1）為橢圓■+■=1內(nèi)一點，F(xiàn)1為橢圓左焦點，P為橢圓上一動點，求|PF1|+|PA|的最大值和最小值。

解析：由■+■=1可知a=3，b=■，c=2左焦點F1（-2，0），右焦點F2（2，0）。

由橢圓定義可知，|PF1|=2a-|PF2|=6-|PF2|，

∴|PF1|+|PA|=6-|PF2|+|PA|=6+|PA|-|PF2|。

如圖3：由||PA|-|PF2||≤|AF2|=■=■可知-■≤|PA|-|PF2|≤■。

當(dāng)P在AF2延長線上的P2處時，取右“=”號；當(dāng)P在AF2的反向延長線的P1處時，取左“=”號，即|PA|-

|PF2|的最大、最小值分別為■和-■，故|PF1|+

|PA|的最大值是6+■，最小值是6-■。

點評：采用極端性原則，變靜態(tài)思維方式為動態(tài)思維方式，把數(shù)與形分別視為運動事物在某一瞬間的取值或某一瞬間的相對位置，揭示了問題的本質(zhì)，體現(xiàn)了思維的靈活性。

例4.數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a1>0，若存在自然數(shù)p≥10，使得SP=aP，則當(dāng)n>p時，Sn與an的大小關(guān)系是（ ）。

A.an≥Sn B.an>Sn

C.an≤Sn D.an

解析：∵a1>0且SP=aP，∴d<0且SP-1=0 ∴Sn為過原點開口向下的二次函數(shù)，an為單調(diào)遞減的一次函數(shù)，如圖所示

∴當(dāng)n>p時，an>Sn。故答案選B。

點評：在討論方程不等式的解時，有解與恒成立問題等可以通過換元轉(zhuǎn)化為具有明顯幾何意義的問題，借助圖形求解。

數(shù)形結(jié)合是把抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形結(jié)合起來，通過“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”把復(fù)雜問題簡單化、抽象問題具體化，不僅容易找出解題途徑，而且還能簡化解題過程，在選擇和填空題中具有明顯的優(yōu)勢。因此，在教學(xué)中，教師不能只單純地講解數(shù)學(xué)知識，還應(yīng)注意滲透數(shù)形結(jié)合的思想，捕捉一切時機，培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)思維能力。

（作者單位：江西省南昌市鐵路一中）