培養學生的數學主元思想

所謂“主元思想”，是指在含有兩個或兩個以上字母的問題的解決過程中，選擇其中一個字母作為主要研究對象，視為“主元”，而將其余各字母視作參數或常量，來指導解題的一種思想方法。筆者以廈門市2013屆高三理科數學質檢卷第19題的解題過程為例，談了一些做法：

題目：已知函數f（x）=x+alnx在 x=1處的切線l與直線x+2y=0垂直，g（x）=f（x）+ x2-bx。（Ⅰ）求實數a的值；（Ⅱ）若函數g（x）存在單調遞減區間，求實數b的取值范圍；（Ⅲ）設x1，x2（x1

解：（Ⅰ）（Ⅱ）略；

（Ⅲ）

∵x1，x2（x1、x1）是函數g（x）的兩個極值點，

∵x1，x2（x1、x2）是方程g'（x）=0的兩個實數根，

∴x1+x2=b-1，x1·x2=1，

∴

x2] ……①

解題時，多數學生只能進行到這一步，原因是式子①所含的參數太多了。顯然，這是學生缺乏主元意識造成的，應引起教師的高度重視。筆者大膽讓學生探究這個問題，教學過程如下：

筆者說：“求①式的最小值，我們應該怎么做？”

學生1回答：“用基本不等式。”

學生2回答：“用導數。”

筆者說：“我們可以考慮用導數，但它目前并不是個函數，函數應該是兩個變元。用什么辦法可以把它變為函數呢？”

經過認真觀察①式后，學生3回答：“可不可以把其中一個字母，比如x1當作自變量，其他字母 x2、b當作常數（或已知數），這樣就可以把它看成關于x1的函數 y=h（x1）。”

聽到這位學生的回答，筆者感到一陣欣喜。在筆者的鼓勵下，學生3把“

”這個式子寫了出來。

筆者繼續引導他：“突出x1為自變量即主元，其他為參數。那么，我們能否把它整理得更像一個函數呢？”

學生3回答：“能。只要把 x2、b 用含x1的式子代替，那么它就是一個函數了。”

接著，學生3寫出了解法：以x1為主元，令h（x1）=g（x1）-g（x2）

當他寫到這一步時，筆者問：“要求函數的值域，還應知道什么條件？”學生異口同聲地回答：“還要求變元x1的取值范圍，即h（x1）的定義域。”

學生4回答：“ ∵

由x1+x2=b-1，x1·x2=1得0

筆者說：“到此，這個問題變成了一個簡單的求函數值域問題：已知x1∈（0， ]，求函數 的最小值。接下去，應該怎么解？”

學生5回答：“先換元。令t=x12，則

，

∵

∴ 函數 在區間 上是單調遞減函數，故ymin= -2ln2 。”

最后，筆者問：“解決本題的關鍵是什么？”

學生6回答：“就是以其中一個字母x1為主元，其他兩個字母x2、b都能用表示x1，最終把它看成關于x1的函數來解決。”

筆者說：“像這個問題，關鍵是確立主元。一旦主元確定了，解決問題的方向也就確定了。那么，本題還有其他解答方法嗎？”

筆者的問題又使學生再次陷入思考中。

學生7回答：“根據對稱性，也可以選擇x2為主元。解題過程類似。”

學生8回答：“還可以選擇 b為主元，建立關于b的函數。”

學生9回答：“我發現，

選擇 為主元，令t=x12，則

，與第一個問題一樣。”