數學教學中的逆向思維

摘 要：逆向思維是創造性思維的一個組成部分，也是進行思維訓練的載體，培養學生逆向思維過程也是培養學生思維敏捷性、拓展學生思維視野的過程。

關鍵詞：逆向思維；數學教學；數學思維

逆向思維是數學思維的一個重要形式，是創造性思維的一個組成部分，也是進行思維訓練的載體，培養學生逆向思維過程是培養學生思維敏捷性的過程，拓展學生思維視野的過程。本人在多年教學實踐中注重以下幾個方面的嘗試，獲得了一定的成效。

一、在概念教學中注意培養反方向的思考與訓練

數學概念、定義總是雙向的，我們在平時的教學中，只秉承了從左到右的運用，于是形成了定向思維，對于逆用公式法則等很不習慣。因此在概念的教學中，除了讓學生理解概念本身及其常規的應用外，還要善于引導啟發學生反過來思考，從而加深對概念的理解與拓展。例如，解|x+1|+|x+2|>4這個不等式，解：在數軸上標出-1，-2這兩個點。（并分為三個區域：即x小于等于-2，x大于-2且小于-1，x大于等于-1注意要做到不重不漏！）從絕對值概念的反向考慮其條件，所以（1）當x≤-2時，（x+1為負，所以取相反數，x+2也一樣）。-（x+1）-（x+2）>4解得x<-3.5，又因為x≤-2（前提條件）所以x<-3.5。（2）當-2-1時（都為正，倆絕對值均可直接去除）得x+1+x+2>4，解得：x>0.5，又因為x>-1，所以x>0.5。綜合（1）（2）（3）得解集為x大于0.5或x小于-3.5。滲透一定量的逆向思考問題，強調其可逆性與相互性，對培養學生推理證明的能力大有裨益。例如，在“互為補角”的定義教學中，可采用以下形式：∵∠A+∠B=180°，

∴∠A、∠B互為補角（正向思維）。∵∠A、∠B互為補角。∴∠A+∠B=180°（逆向思維）。當然，在平常的教學中，教師本身應明確哪些定理的逆命題是真命題，才能適時給學生以訓練。

二、重視公式逆用的教學

公式從左到右及從右到左，這樣的轉換正是由正向思維轉到逆向思維能力的體現。在教學中，注重這方面的訓練，不僅能使學生思維活躍，拓寬思維，有益于學生思維能力的培養和提高。因此，當講授完一個公式及其應用后，緊接著舉一些公式的逆應用的例子，可以給學生一個完整、豐滿的印象，開闊思維空間。在代數中公式的逆向應用比比皆是。多項式的乘法公式的逆用，用于因式分解、同底數冪的運算法則的逆用可輕而易舉地幫助我們解答一些問題，如，若有關x的方程3x2-5x+a=0的一個根在（-2，0）內，另一個在（1，3）內，則a的取值范圍是不用解答呢？比如這類題目的解決思想是什么？

首先，逆向思維因為有兩個根，所以判別式大于零。因為二次項系數大于0，開口向上。

令f（x）=3x2-5x+a，則f（-2）>0，f（0）<0，f（1）<0，f（3）>0

解以上五個不等式得-12

用數形結合的方法，二元一次方程根的問題可以看作二次函數與x軸交點的問題。二次項系數a大于0，開口向上，由根的范圍知二次函數與x軸的交點范圍，模擬出圖像。知道以上四個不等式。特別注意，別忘了判別式b2-4ac大于0這個條件。因為有兩個根，這個條件必須成立。解題時容易漏掉這組題目，若正向思考，不但繁瑣復雜，甚至解答不了，靈活逆用所學的冪的運算法則，則會出奇制勝。故逆向思維可充分發揮學生的思考能力，有利于思維廣闊性的培養，也可大大刺激學生學習數學的主觀能動性與探索數學奧秘的興趣性。

三、多用逆向變式訓練，強化學生的逆向思維

逆向變式即在一定的條件下，將已知和求證進行轉化，變成一種與原題目似曾相識的新題型。

再如，解方程，請判斷方程x2-5x+6=0的根的情況。可變式為：已知關于x的方程x2-5x+k=0，當k取何值時，方程有兩個不相等的實數根。經常進行這些有針對性的逆向變式訓練，創設問題情境，對逆向思維的形成起著很大的作用。

四、強調某些基本數學方法，促進逆向思維

數學的基本方法是教學的重點內容。其中的幾個重要方法：如，逆推分析法、反證法等都可看作是培養學生逆向思維的主要途徑。比如，在證明一道幾何命題時（當然代數中也常用），教師常要求學生從所證的結論著手，通過觀察圖形，分析已知條件，經層層推導，問題最終迎刃而解。養成“要證什么，則需先證什么，能證出什么”的思維方式，由果索因，直指已知。

總之，培養學生的逆向思維能力，不僅對提高解題能力有益，更重要的是能夠改善學生學習數學的思維方式，有助于形成良好的思維習慣，激發學生的創新開拓精神，培養良好的思維品性，提高學習效果、學習興趣及提高思維能力和整體素質。

參考文獻：

曹一鳴.中學數學課堂教學模式及其發展研究[M].北京師范大學出版社，2007.

（作者單位 廣西壯族自治區南寧市第四十五中學）

編輯 魯翠紅