“向量法”讓新課程的高中數學教與學更精彩

摘 要：“向量”是高中數學中重要而基本的概念之一，它是高中數學的基礎知識。它既是代數的對象，又是幾何的對象。并把向量上升為思想方法——“向量法”來探索與研究：直線的斜率坐標公式；直線的平行與垂直關系；直線方程；點到直線的距離公式；直徑圓的方程、過圓上的切線方程等。

關鍵詞：向量法；新課程；高中數學；工具性

“向量是近代數學中重要和基本的數學概念之一，有深刻的幾何背景是解決幾何問題的有力工具。全等和平行（平移）、相似、垂直、勾股定理就可轉化為向量的加（減）法、數乘向量、數量積運算，從而把圖形的基本性質轉化為向量的運算體系。”使得教材中在推導正、余弦定理、三角不等式、柯西不等式、直線與平面垂直的判定定理等重要定理、公式的教與學更加簡潔、方便、深刻，向量的工具性作用得到了更為充分的發揮。教材中的許多知識表面上是孤立的，若我們在引領學生認知這些內容的同時，有“意識”地揭示這種“知識鏈”，內化學生的理解，就能讓學生對知識的構建“水到渠成”。

精彩之一：用向量法推導直線的斜率坐標公式的關系

【問題1】已知直線過P1（x1，y1），P2（x2，y2）兩點，求直線的斜率。

教材中采用了分四種情況討論，利用初中直角三角形中的正切函數概念結合誘導公式推導斜率公式，學生對推導過程比較難理解，是本節課的難點。

■

不妨設直線向上的方向向量為■=（x2-x1，y2-y1），否則取其相反向量。

平移至向量■=（x2-x1，y2-y1），則直線P1P2的傾斜角α=∠XOP，所以直線的斜率k=tanα=■.

這樣采用向量法和正切函數的定義就可以巧妙地避免復雜的分類討論和誘導公式的變形等難點，學生也能很好地理解公式推導過程。

精彩之二：用向量法推導直線方程及直線的斜率與平行、垂直位置關系的條件

【問題2】設直線l1，l2的斜率分別為k1，k2，若l1∥l2，l1⊥l2，則直線的斜率k1，k2有何關系？

教材中采用了分情況討論，利用直角三角形外角等于不相鄰的兩內角和以及誘導公式推導，學生對推導過程理解還是比較困難的。

如果設直線l1，l2的方向向量分別為■=（1，k1），■=（1，k2）即有

l1∥l2？圳■∥■？圳1×k1-1×k2=0？圳k1=k2；

l1⊥l2？圳■⊥■？圳■·■=0？圳k1k2=-1.

這樣學生就能很好地理解公式的推導辦法，向量的工具性作用得到充分應用，數學知識的內在聯系得到了升華。

筆者讓學生自主學習《數學必修4》133頁的《平面向量》復習參考題B組第9題：

【問題3】“平面直角坐標系內的向量都可以用一有序實數對唯一表示，這使我們想到可以用向量作為解析幾何的研究工具。……你能用向量作為工具討論一下直線的有關問題嗎？

（1）過點P0（x0，y0）平行于向量■=（1，k）的直線方程；

（2）向量■=（A，B）與直線Ax+By+C=0的關系；

（3）設直線l1和l2的方程分別是l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0，那么，l1∥l2，l1⊥l2，的條件是什么？”

【引進直線的方向向量】（1）設P（x，y）為直線上任意一點，則■∥■，

即有（y-y0）-k（x-x0）=0，故有y-y0=k（x-x0）.

【引進直線的法向量】（2）在直線Ax+By+C=0上任取不同兩點P1（x1，y1），P2（x2，y2），

則A1x+B1y+C1=0……①，A2x+B2y+C2=0……②，

由②-①得，A（x2-x1）+B（y2-y1）=0，即有■·■=0，故■⊥■，

所以向量■=（A，B）為直線Ax+By+C=0的法向量。

（3）如果設直線l1，l2的法向量分別為■=（A1，B1），■=（A2，B2），則有：

l1∥l2？圳■∥■？圯A1×B2-A2×B1=0；l1⊥l2？圳■⊥■？圳■·■=0？圳A1A2+B1B2=0；

引進法向量推導直線平行的必要條件、垂直的充要條件就可以避免用斜率繁雜的討論，而使過程簡潔明快。

精彩之三：用向量法推導點到直線的距離公式

【問題3續】（4）向量在計算長度、角度方面比較方便，你能用向量的知識推導“點P0（x0，y0）到直線Ax+By+C=0的距離公式”嗎？

雖然只設計了這樣一個問題，卻一石激起千層浪，引導著學生把平面向量知識與解析幾何知識有機地聯系在一起，為學生學習解析幾何知識有了向量這一有用的工具，為學生學習新知識——推導點到直線的距離公式開拓了新的思路：

■

已知點P0（x0，y0），直線l：Ax+By+C=0求點P0到直線l的距離。

解：在直線l上取一點S（x1，y1），則Ax1+By1+C=0，

■=（x1-x0，y1-y0），而直線l的一個法向量為■=（A，B），

d=■=■

=■=■

推導點到直線的距離公式是本節內容的難點，用向量法推導比教材中的方法更簡潔，筆者的教學實踐表明：這一方法讓學生更易掌握，從而很好地突破了教學的難點。

精彩之四：用向量法求直徑圓

【問題4】設A（x1，y1），B（x2，y2），求以AB為直徑的圓方程。

設P（x，y）為圓上任意一點，則AP⊥BP，即■·■=0，故有，以AB為直徑的圓方程為（x-x1）（x-x2）（y-y1）（y-y2）=0。

精彩之五：用向量法求過圓上的切線方程

【問題5】求過圓x2+y2=r2上一點P（x0，y0）的切線方程。

方法1：易知，■=（x0，y0）是過切點P（x0，y0）的圓的切線的法向量，所以可以設切線方程為x0x+y0y+c=0，因切線過點P0（x0，y0），所以x02+y02+c=0，即c=-（x02+y02）=-r2，

所以過圓x2+y2=r2上一點P（x0，y0）的切線方程為x0x+y0y=r2.

方法2：在切線上任取一點Q（x，y），則OP⊥PQ，即■·■=0，即有x0（x-x0）+y0（y-y0）=0，故有x0x+y0y-（x02+y02）=0，所以過圓x2+y2=r2上一點P（x0，y0）的切線方程為x0x+y0y=r2.

【問題5續】求過圓（x-a）2+（y-b）2=r2上一點P（x0，y0）的切線方程。

設圓心M（a，b），在切線上任取一點Q（x，y），則MP⊥PQ，即■·■=0，

即有（x0-a）（x-x0）+（y0-b）（y-y0）=0，有（x0-a）（x-a）+（y0-b）（y-b）-[（x0-a）2+（y0-b）2]=0，

所以過圓（x-a）2+（y-b）2=r2上一點P（x0，y0）的切線方程為（x0-a）（x-a）+（y0-b）（y-b）=r2.

向量法研究直徑圓、過圓上的切線方程，使問題的解決變得更方便，也更容易被學生掌握。

用向量法解決問題的一般思路為：

向量是數學中重要和基本的概念之一，它是高中數學的基礎。“它既是代數的對象，又是幾何的對象，作為代數的對象，關鍵是它具有一套良好的運算性質，而作為幾何對象，向量有方向，可以刻畫直線、平面曲線等幾何對象。向量有長度，可以刻畫長度等幾何度量問題，向量由方向和大小兩個因素確定，因此向量是集數與形于一身的數學概念，是數學中數形結合思想的體現。通過空間向量可把空間圖形的性質轉化為向量的運算，這樣通過向量就能較容易地研究空間的直線和平面的各種有關問題。向量的理論和方法，又成為解決物理學和工程技術的重要工具。”并把向量上升為思想方法——“向量法”，讓學生更好地體會數學方法的魅力和數學知識內在的普遍聯系，使高中數學學習更精彩！

參考文獻：

劉忠.向量替斜率，解題免討論.中學數學，2009（1）.

（作者單位 浙江景寧中學）

？誗編輯 馬燕萍