不定積分中的“積不出”問題探討

　　摘要： 本文對不定積分中的“積不來”問題進行了研究，論述了自劉維爾（J.Liouville）第一個研究該問題的一系列定理，并分析了它們之間的關系，根據常用積分表與相關定理總結推導出不定積分中“積不出”的若干重要類型.
　　關鍵詞： 不定積分原函數初等函數
　　
　　初等函數在其定義域內是連續的，而任何連續函數的原函數都是存在的，因此，每個初等函數在其定義區間上都有原函數，都存在不定積分.函數“積不出”是指不定積分?蘩f（x）dx不是初等函數，即的原函數不是初等函數.
　　有限形式下初等函數的積分最早是由劉維爾提出并研究的問題.首先證明了，如果一個代數函數的原函數是初等函數，則它的原函數是代數函數，不過他所說的初等函數包括代數函數，接著他把定理推廣到一般的初等函數的情況.后來眾多數學家如Ostrowski，R.H.Risch，Maxwell Rosenlicht，Ritt等沿Liouville的思想方法進行推廣、重新表述、證明，從理論上基本解決了該問題，然而應用這些理論作證明需要用到微分代數的知識，過于復雜，難以為一般教科書所采用.這里僅對這方面理論作綜述，限于篇幅不給出證明，盡量多給出“積不出”的函數例子及如何快速判斷函數是否“積不出”的一些方法.
　　一、主要理論
　　劉維爾第三定理：設f（x），g（x）為x的代數函數，且g（x）不為常數.若?蘩f（x）e■dx是初等函數，則?蘩f（x）e■dx=R（x）e■+C，其中R（x）是x，f（x），g（x）的有理函數，C是常數.
　　劉維爾第四定理：設f■（x），g■（x）（k=1，2，…，n）為x的代數函數，且g■（x）-g■（x）≠常數（i≠j）.若函數w（x）=■f■（x）e■的不定積分是初等函數，則?蘩f■（x）e■dx（k=1，2，…，n）也是初等函數.
　　推論1：設■（x），g■（x）（k=1，2，…，n）為x的代數函數，且g■（x）-g■（x）≠常數（i≠j）.若w（x）=■f■（x）e■中有一項是積不出函數，則w（x）也是積不出函數.
　　推論2：設f（x）是有理函數，g（x）是多項式函數，則不定積分?蘩f■（x）e■dx是初等的，則不定積分?蘩f■（x）e■dx是初等的充要?蘩f■（x）e■dx條件是存在有理函數R（x），使R′（x）+g′（x）R（x）=f（x）成立.
　　上述定理主要用來判定是否能“積出來”，通過歐拉定理，三角函數一些類型也可以通過上述定理解決.以下是現代數學家A.Ostrowski、Ritt用域擴張法代數的表述Liouville定理.
　　Liouville定理：設K是微分域，f∈K，若存在K的初等擴張域Const（E）=Const（K），g∈K使得Dg=f，則v∈K，u■，…，u■∈K■，c■，…，c■∈Const（K）使得：f=Dv+■c■■（其中Const（k）={a∈K|Da=0}，初等擴張包括代數擴張、對數擴張、指數擴張）.
　　強Liouville定理：設f是初等函數，K是包括初f等域，C為復數域，那么f的原函數能用初等函數表示出來當且僅當C中存在非零常數c■，…，c■和K中的非零函數g■，…，g■和K中函數h，使得f=■c■■+h′.
　　推論：設f，g∈C（x）（復數域上x有理函數）且f≠0，g不是常數，若f（x）e■的原函數能用初等函數表示出來，則在C（x）中存在一個有理函數R（x）使R′（x）+g′（x）R（x）=f（x）成立.
　　替換定理：設f（x）、x=g（t）及它的反函數t=g■（x）都是初等函數，則?蘩f（x）dx是非初等函數當且僅當?蘩f（g（t））g′（t）dt也是非初等函數.
　　總之，有限形式下的積分理論，經歷了從19世紀早期Liouville的創立到Ritt于1948年的總結，特別是Rosenlicht和Risch作出了重要貢獻.
　　二、主要結果
　　文獻［１］利用劉維爾第三定理證明了不定積分?蘩e■dx（b≠0）?蘩■dx（b≠0）?蘩■dx等不是初等函數.由歐拉公式和劉維爾第四定理，不難證明?蘩sinx■dx，?蘩cosx■dx，?蘩■dx，?蘩■dx也不是初等函數，利用分部積分、變量替換等手段，由它們可得更多“積不出”函數.
　　1.由?蘩e■dx不是初等函數通過歐拉公式，分部積分變量替換導出來的類型.
　　?蘩■dx，?蘩■dx，?蘩■dx，?蘩■dx，?蘩■dx，?蘩■dx，?蘩x■sinx■dx，?蘩■dx，?蘩■dx，?蘩■dx，?蘩■dx，（其中m，n∈N■）.
　　2.通過變量替換，分部積分可以化歸成二項微分式的類型.
　　切比雪夫定理：不定積分?蘩x■（a+bx■）■dx（其中a，b≠0，b，q，r是有理數）是初等函數的充分必要條件是q，■，■+q三個數中至少有一個是整數.
　　推論：設p，q是有理數，則不定積分?蘩x■（1-x）■dx是初等函數的充分必要條件是p，q，p+q三個數中至少有一個是整數.這類型的積分很多，文獻［５］通過切比雪夫定理給出?蘩■dx（m＞2）其中p■（x）=a■x■+a■x■+…+a■x+a■能表成初等函數的充要條件.
　　3.可以轉化成橢圓積分型.
　　當n≥3時，不定積分?蘩R（x，■）dx一般不是初等函數；當3≤n≤4時稱為橢圓積分，文獻［４］指出它總可以表示成初等函數與以下三個標準的橢圓積分之和：
　　?蘩■dx，?蘩■dx，?蘩■dx
　　而這些橢圓積分，早在1833年劉維爾就證明了不是初等函數.
　　?蘩■，?蘩■dθ，?蘩■，?蘩■dθ（|k|＜1），?蘩■，?蘩■，?蘩■，?蘩■，?蘩■dx，?蘩■dx，?蘩■dx，?蘩■dx，?蘩■dx，?蘩■dx，其中p≠q，可化歸橢圓積分.
　　4.其他的一些類型.
　　?蘩■dx，?蘩■dx，?蘩■dx，?蘩■dx（n≠1是初等函數n=1非初等函數），?蘩■dx，?蘩ln（sinx）dx，?蘩ln（cosx）dx，?蘩■dx，?蘩■dx，?蘩e■tanxdx，?蘩lnlnxdx，?蘩x■e■dx（K=0，1，…，n-2），都不是初等函數.
　　總之，判斷和證明一個函數的不定積分是不是初等函數是一個很復雜的問題，有理函數或通過替換可化為有理函數的是能“積出來”的，無理函數和包含超越函數的不定積分大部分都是非初等函數，目前還沒有統一的方法可解決，如下例：?蘩■dx=-■■+c能積出，更換其中一些常數就可能“積不出”.所以簡單的被積函數不一定有初等積分，而復雜的被積函數不一定沒有初等積分.
　　
　　參考文獻：
　　［1］張從軍.數學分析概要二十講.安徽大學出版社，2000.
　　［2］金玉明主編.實用積分表.中國科技大學出版社，2005.
　　［3］張春茍.不定積分中的“積不出”問題.數學的實踐與認識，2009.
　　［4］趙興華.超越函數初等積分存在性和機械化算法.大連理工大學.碩士論文，2009.
　　［5］鄧四清.一類無理函數積分能表成初等函數的充要條件.工科數學，1995.