一道幾何題的多種思考

　　問題［１］：在△ABC中，∠B=2∠A，則AC■=BC■+AB·BC.
　　經(jīng)過多方面的思考，我們得出以下解法：
　　證明一：如圖1，在△ABC中，∠B=2∠A.
　　
　　
　　
　　
　　
　　圖1
　　由正弦定理得：■=■
　　∴2BC·cosA=AC
　　∴cosA=■
　　又∵余弦定理：cosA=■
　　AC■（AB-BC）=BC·（AB-BC）（AB+BC）
　　當BC≠AB時，AC■=BC■+BC·AB；
　　當BC=AB時，此時△ABC為等腰直角三角形，等式依然成立.
　　證明二：如圖2，作∠ABC的角平分線交AC于點D.
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　圖2
　　∴∠ABD=∠DBC=∠A
　　∵∠BDC=∠ABD+∠A=∠ABC
　　∴△BDC≈△ABC
　　∴■=■=■
　　即有：BC■=DC·AC①
　　BC·AB=BD·AC②
　　∵AD=BD
　　∴①+②=AC■=BC■+AB·BC
　　證明三：如圖3，利用三角形面積公式可得：
　　
　　
　　
　　
　　
　　圖3
　　S■=■×BC·AB·sinB①
　　S■=■×AB·AC·sinA②
　　由①=②得：cosA=■③
　　cosA=■④
　　由③=④得：AC■（AB-BC）=BC·（AB-BC）（AB+BC）
　　當BC≠AB時，AC■=BC■+BC·AB；
　　當BC=AB時，此時△ABC為等腰直角三角形，等式依然成立.
　　證明四：如圖4，以△ABC的AB邊為X軸，過點C并且垂直于AB為Y軸.
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　圖4
　　設A點坐標為（x，0），則C點坐標為（0，xtanA），B點坐標為（x-■，0），■為（-■，0），■為（-x，xtanA），
　　∴cosA=■=■
　　化簡得：AC■（AB-BC）=BC·（AB-BC）（AB+BC）
　　當BC≠AB時，AC■=BC■+BC·AB；
　　當BC≠AB時，此時△ABC為等腰直角三角形，等式依然成立.
　　在做一道題的時候，可以從多個方面入手進行思考、解答，不局限于一種思維模式.只有將所學的知識融會貫通，敢于嘗試，敢于思考，才會在此基礎上提高思維能力.
　　
　　參考文獻：
　　［1］屈植華.學生之友（初中版）下，2010（07）.