歐拉—拉格朗日方程的推廣

　　摘要： 變分法是處理泛函極值的一種數學方法，歐拉—拉格朗日方程是基于變分法得到的，該方程在除數學外的很多其他領域有著廣泛的運用.如果能將歐拉—拉格朗日方程的應用范圍進一步擴大，即條件減弱或者放松限制條件，就可以使已有的結論更完善.本文運用變分法，得到更普遍適用的歐拉—拉格朗日方程.
　　關鍵詞：Hamilton原理變分問題歐拉—拉格朗日方程
　　
　　1.引言
　　變分法用于極值泛函問題，運用范圍非常廣泛，其中一個重要定理是歐拉—拉格朗日方程［１］.在分析力學里，由Hamilton原理一個動力系統的拉格朗日函數是描述整個物理系統的動力狀態的函數，定義為動能減去勢能，以方程表示為L=T-V；其中L為拉格朗日量，T為動能，V為勢能.拉格朗日量是動能T與勢能V的差值L=T-V［2］.
　　一個物理系統的拉格朗日函數所構成的泛函的變分問題：在時間段［t■，t■］內的一切容許運動中，真實的運動必使L取極值對應于尋求泛函的臨界點，在尋找函數的極大、極小值時，一個解附近的微小變化的分析給出一階的一個近似［3］，借此人們可以得到該物理系統的動力行為表達，具體描述如下：設f是關于自變量的二次連續可微函數，若S=L（u）=■f（x，u，u■，…u■）dx在u（x）=■（x）取極值，則f■（x，■（x）），■■（x），…，■■（x））-■?鄣■f■（x，■（x）），■■（x），…，■■（x））=0.
　　這里我們采用下述記號，設f為在Ω上定義的連續函數，記f的支集suppf為suppf=■，記C■為Ω上定義的直到k階導數都連續的函數的集合，記C■■（Ω）為C■（Ω）中其函數的支集為包含在Ω內的緊集的函數的集合［4］.f■為函數f對變量u的一階導，u■為函數u對變量x■的一階導，f■為函數f對變量u■的一階導，f■為函數f的k階導（依次對變量u■，…u■求一階導）.為導出上述變分問題有解的必要條件，如下引理.
　　引理：對任意φ∈C■（Ω）有■f（x）φ（x）dx=0，其中f∈C（Ω），則在Ω上f≡0［5］.
　　2.主要結論
　　上述得到的歐拉—拉格朗日方程涉及的是變量的一階偏導，如果L涉及變量的高階偏導那么上述方程就不適用了.為了使其運用范圍進一步擴大，本文通過運用變分法，得到更普遍適用的歐拉—拉格朗日方程.
　　定理1：設f是關于自變量的四次連續可微函數，若
　　S=L（u）=■f（x，u，u■，…u■，u■，u■，…u■）dx
　　在u（x）=■（x）取極值，則
　　f■（x，■（x），■■（x），…■■（x），■■（x），■■（x），■■（x））-■?鄣■f■（x，■（x），■■（x），…■■（x），■■（x），■■（x），■■（x））+■?鄣■f■（x，■（x），■■（x），…，■■（x），■■（x），■■（x），■■（x））=0
　　證明：設在u=（x）=■（x）時L（u）取極值，取φ∈C■（Ω），取絕對值分小的a，使得■+aφ屬于容許函數類，則
　　L（a）=L（■+aφ）=■f（x，■（x）+aφ（x），■，…，■，…■…）dx即L（■+aφ）為a的函數，且當a=0時函數L（a）取極值.故有
　　L′（0）=■f■（x，■（x），■■（x），…■■（x），…■■（x），…）φ（x）dx+■■f■（x，■（x），■■（x），…，■■（x），…，■■（x），…）φ■（x）dx+■■f■（x，■（x），■■（x），…，■■（x），…，■■（x），…）φ■（x）dx=Ⅰ+Ⅱ+Ⅲ=0
　　由定理1
　　Ⅱ=-■■（?鄣■f■（x，■（x），■■（x），…，■■（x），…，■■（x））φ（x）dx
　　同理對Ⅲ式運用Gauss公式及φ∈C■（Ω），得
　　Ⅲ=■■f■（x，■（x），■■（x），…，■■（x），…，■■（x），…）φ■（x）dx=■?鄣（■f■（x，■（x），■■（x），…，■■（x），…，■■（x），…）φ■（x）dx-■（?鄣■f■（x，■（x），■■（x），…，■■（x），…，■■（x），…））φ■（x）dx=■f■（x，■（x），■■（x），…，■■（x），…，■■（x），…））φ■·nds-■■（?鄣■f■（x，■（x），■■（x），…，■■（x），…，■■（x），…））φ■（x）dx=-■■（?鄣■f■（x，■（x），■■（x），…，■■（x），…，■■（x），…））φ■（x）dx=-■?蘩■?鄣■（?鄣■f■（x，■（x），■■（x），…，■■（x），…，■■（x），…）φ（x））dx+■■（?鄣■f■（x，■（x），■■（x），…，■■（x），…，■■（x），…））φ（x））dx=■■（?鄣■f■（x，■（x），■■（x），…，■■（x），…，■■（x），…））φ（x））dx從而在u（x）=■（x）
　　L′（0）=Ⅰ+Ⅱ+Ⅲ=■（f■-■?鄣■f■+■?鄣■f■）φdx=0
　　由引理，在Ω上恒有
　　f■（x，■（x），■■（x），…，■■（x），■■（x），■■（x），■■（x））-■?鄣■f■（x，■（x），■■（x），…，■■（x），■■（x），■■（x），■■（x））+■?鄣■f■（x，■（x），■■（x），…，■■（x），■■（x），■■（x），■■（x））=0定理2：設f是關于自變量的2k次連續可微函數，若
　　S=L（u）=■f（x，u，…u■，…，u■，…u■，…）dx
　　在u（x）=■（x）取極值，則在■（x）
　　f■-■?鄣■f■+■?鄣■■f■+（-1）■■?鄣■■f■=0.
　　
　　參考文獻：
　　［1］Fomin，S.V.and Gelfand，I.M.：Calculus of Variations，Dover Publ.，2000.
　　［2］Lebedev，L.P.and Cloud，M.J.：The Calculus of Variations and Functional Analysis with Optimal Control and Applications in Mechanics，World Scientific，2003：1-98.
　　［3］Charles Fox：An Introduction to the Calculus of Variations，Dover Publ.，1987.
　　［4］Herbert Goldstei.Classical Mechanics，2nd ed.，Addison Wesley，1980：35-69.
　　［5］吳方同.數學物理方程，2001：13-16.
　　
　　基金項目：江西科技學院自然科學研究項目“熱方程的理論研究及應用”（ZR12YB15）.