排列\\組合問題思想方法的整合

　　摘要： 排列、組合的思想方法是學習概率的基礎，直接影響著概率的進一步學習，因此學好排列組合顯得尤為重要.作者結合近幾年的教學實踐，對排列組合的思想與方法的整合談談見解，希望起到拋磚引玉的作用.
　　關鍵詞： 排列組合思想方法
　　
　　排列組合中常用的數學思想是分類討論.解決排列組合問題的關鍵是合理地“分類”或“分步”，而要合理地分類或分步，則需熟練地掌握元素分析法或位置分析法.
　　一、合理分類或分步計數
　　例：從長度為3、5、7、9、11的五條線段中，取三條構成三角形，求能構成的不同的三角形的個數.
　　解：分類計數：若最長邊為7，另兩邊只能是3和5，有1種；若最長邊為9，另兩邊可以是3、7或5、7，有2種；若最長邊為11，另兩邊可以是3、9或5、7或5、9或7、9，有4種.由分類計數原理，可得出能構成的不同的三角形的個數是7.
　　二、特殊優先法
　　例：1名老師和4名同學排成一排照相留念，若老師不排在兩端，則排法有?搖 ?搖種.
　　解1：特殊元素法，分步進行：第一步，老師在中間的三個位置上任選一個位置，有A■■種；第二步，4名同學在余下的四個位置上排列，無限制排列（排列定義），排法有A■■種.由分步計數原理得共有A■■×A■■種方法.
　　解2：特殊位置法，分步進行：
　　第一步，先安排兩端位置，學生是無限制排列（排列定義），有A■■種；第二步，再安排余下的三個位置，也是無限制排列，有A■■種.由分步計數原理得共有A■■×A■■種方法.
　　三、相鄰問題的捆綁法
　　例：3個女生和5個男生排在一起，如果女生必須排在一起，則可以有多少種不同的排法？
　　解：分步進行：第一步，因為3個女生必須排在一起，所以可先把她們看做一個整體（即一個特殊人），連同5個男生合在一起共有6個元素，排成一排有A■■種排法；第二步，對于其中每一種排法，3個女生之間有都有A■■種不同的排法，由分步計數原理可得共有A■■×A■■種不同排法.
　　四、一般優先法
　　1.插空法
　　例：5個男生3個女生排成一列，要求女生不相鄰且不可排兩頭，共有幾種排法？
　　解：分步進行：第一步，先排無限制條件的5個男生，有A■■種排法；第二步，排女生，由于女生不相鄰且不可排兩頭，故3個女生只能分別插在5個男生的4個間隙中，有A■■種排法（若允許女生派兩頭，則有A■■種插法）.由分步計數原理得共有A■■×A■■=2880種排法.
　　2.“定序”問題
　　例：4名男生和3名女生按要求站成一排，3名女生順序一定有多少種不同的站法？
　　解：元素分析法：男生沒有特殊要求，第一步，排男生，從A、B、C、D、E、F、G這7個位置中男生選4個位置排列共有A■■種站法；第二步，排女生，由于女生順序一定，故只有一種站法，由分步計數原理3名女生順序一定有A■■種不同的站法.
　　五、正難則反的排除法
　　例：如上述“定序”問題中，4名男生和3名女生按要求站成一排，3名女生順序一定有多少種不同的站法？
　　解：7名學生的全排列有A■■，由于3名女生順序一定，故共有■種不同的站法.
　　六、樹圖法
　　例：用1，2，3，4，5這5個數字，組成沒有重復數字的三位數，其中偶數共有多少個？
　　解：位置分析法：畫樹圖依題個位上排2或4是等可能的，故只統計各位上排2時的偶數的個數.當個位上排2時，同理十位上排1或3或4或5也是等可能的，故只統計十位排1的偶數，有3個，故各位上排2時的偶數的個數是12.
　　同理個位上排4時的偶數也是12個，由分類計數原理得：共計24個.
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　七、先選后排法
　　例：有5個男生和3個女生，從中選出5個擔任5門學科代表，求符合下列條件的選法數：有女生但人數少于男生.
　　解：先選，可分為1女4男和2女3男，共計不同選法種數為C■■·C■■+C■■·C■■=45；后排，5人任5門學科代表共A■■種排法，故任科代表種數為45×A■■=5400.
　　八、相同元素分配的隔板法
　　例：四個相同的小球放入編號為1、2、3、4的四個盒子中，則恰有一盒空的放法共有?搖?搖?搖?搖?搖?搖種.
　　解：四球放三盒每盒均不空，第一步選盒，有C■■方法；第二步放球，用隔板法，用2個板將四球分成3堆，由于三盒均不空，故隔板只能四球中間的三個空檔中選2個放置，因此共有C■■種方法.由分步計數原理得此種情況共有12種方法.