初中數(shù)學教學中化歸思想的應用探究

　　數(shù)學思想是人們對現(xiàn)實世界的數(shù)量關系和空間形式的規(guī)律探索和本質(zhì)認識，它蘊含于知識的發(fā)展變化之中，是知識轉(zhuǎn)化為能力的紐帶.加強數(shù)學思想方法教學，能使學生打破思維的僵局，擺脫題海戰(zhàn)術的困擾，跳出機械記憶的怪圈，達到舉一反三、觸類旁通的教學效果.化歸思想是數(shù)學思想的基礎，數(shù)形結合思想、分類討論思想、方程與函數(shù)思想等均體現(xiàn)了化歸思想；它是數(shù)學思想方法的靈魂，能揭示知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，通過遷移轉(zhuǎn)化達到化難為易、變繁為易的目的.
　　一、化歸思想方法的內(nèi)涵
　　古今中外，眾多數(shù)學家在原本中對化歸思想做過精辟的研究，如我國古代數(shù)學專著《九章算術》、歐幾里得的《幾何原本》、笛卡爾的《解析幾何》、波利亞的《怎樣解題》，等等.數(shù)學大師阿基米德將測量皇冠的體積轉(zhuǎn)化為測量水的體積，智慧過人的曹沖將稱大象的體重問題轉(zhuǎn)化為容易稱的石頭重量，他們將不易解決的A問題轉(zhuǎn)化為等價的容易解決的B問題，通過解決B問題達到解決A問題的目的.如在初中數(shù)學中的二元一次方程組、一元二次方程、分式方程、二次根式方程等可運用化歸達到“消元降次”的目的，將方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程解.
　　二、化歸思想方法應用的原則
　　1.熟悉性原則.任何事物是相互聯(lián)系的，它們在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化.教師要引導學生將生疏的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題，將未知的問題轉(zhuǎn)化為已知的問題.如在“多邊形的內(nèi)角和”教學中，教師提出問題：“如圖，在五角星ABCDE中，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度數(shù).”
　　分析：五角星的五個角不在同一個多邊形中，通過連接MN、NQ、PQ、PR和PM，將五角星的問題轉(zhuǎn)化為三角形的問題.
　　解：連接MN、NQ、PQ、PR、PM，
　　∠AMN=∠C+∠E，∠ANM=∠B+∠D
　　∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=∠A+∠AMN+∠ANM=180°
　　利用化歸的思想方法解決問題，促進了學生知識的正遷移，認知結構也得到了拓展.
　　2.簡單性原則.在數(shù)學研究中，常試圖將一些表面復雜的數(shù)學問題轉(zhuǎn)化為簡單問題.在教學中教師應引導學生嘗試使用代換、變換、遞推等方法解決問題，如：m、n為不相等的兩實數(shù)，且m■-4m+2=0，n■-4n+2=0，求■+■的值.
　　分析：根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關系，設m、n為x■-4x+2=0的兩根，此題可化歸為：■+■=■+■
　　解：設m、n為一元二次方程x■-4x+2=0的兩根，∴m+n=4，mn=2.
　　將m、n分別代入方程得m■-4m+2=0，4n■-4n+2=0，
　　∴■+■=■+■=■=■=■.
　　3.統(tǒng)一性原則.問題的化歸往往表現(xiàn)在形式上和諧、數(shù)量上統(tǒng)一，解題時要單個擊破，切忌面面俱到，使問題變得復雜.
　　已知：a+b+c=0，求■+■+■的值.
　　分析：將此題a、b、c三個字母位置輪換，分式的值也不會發(fā)生改變，這樣的式子稱為輪換對稱式，解決此題時只需將其中一個進行分析轉(zhuǎn)換，另兩個同理可得.由a+b+c=0可得b=-（a+c）.■=■=■=■，同理■=■，■=■.代入解得1.
　　解：∵a+b+c=0
　　∴b=-（a+c）
　　∴■=■=■=■
　　同理■=■，■=■
　　故原式=■
　　=■
　　=■=■=1
　　三、化歸思想方法應用的策略
　　1.特殊與一般的轉(zhuǎn)化策略.人們對世界的認識總是遵循從特殊到一般，再由一般到特殊的規(guī)律，對于數(shù)學規(guī)律的探索，也是由表及里，由淺入深，由現(xiàn)象到本質(zhì)，尋找問題的解決方案.
　　如：計算：■-■+■-■+■-■+■-■
　　分析：若運用通分計算，公分母是2520，顯然較大，直接計算就會顯得困難.通過觀察發(fā)現(xiàn)，可以采用裂項的方法：■=■+■，由此推廣到■=■+■.
　　解：原式=■+■+■-■+■-■+■-■=■+■-■-■+■+■-■-■+■+■-■-■+■+■-■-■=■-■=■=■
　　2.映射策略.數(shù)學知識內(nèi)總部之間存在著千絲萬縷的聯(lián)系，就代數(shù)知識與幾何知識而言，有些部分存在著同構的關系，這種關系就是映射.它們在本質(zhì)上是一致的，如幾何中的點可用平面直角坐標系的有序數(shù)對表示，直線用y=kx+b表示.實質(zhì)是將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題求解，所用的方法稱為解析法.如判斷兩直線是否平行化歸為一次項系數(shù)k是否相等；判斷兩直線是否垂直化歸為斜率是否互為負倒數(shù)；求兩條直線的交點化歸為解二元一次方程組.
　　如：一次函數(shù)y■=kx+b的圖像經(jīng)過點P（2，1），且與直線y■=2x+1平行，求此函數(shù)的解析式.
　　分析：兩直線平行，說明一次項系數(shù)相等，由y■//y■可得出k=2.又y■=kx+b的圖像經(jīng)過點P（2，1），將P點坐標代入即可求出b的值.
　　解：∵y■//y■，∴k=2
　　又∵y■=kx+b的圖像過點P（2，1），∴2k+b=1
　　解得b=-3.
　　∴此一次函數(shù)的解析式為y■=2x-3.
　　3.分解策略.所謂分解，就是將一個復雜的、不能直接解決的問題分解成若干個簡單的、熟悉的小問題，通過解決小問題尋找化歸途徑使問題得到解決.
　　如：已知有理數(shù)a，b，c，d滿足2|a-c|+■=2c+4d-c■-d■-5，求ad-bc的值.
　　分析：觀察等式左邊為絕對值與二次根式的和，右邊為一個多項式，如直接求解是相當困難的.通過觀察不難看出右邊等于-［（c-1）■+（d-2）■］，左邊不小于0，右邊不大于0，因而左邊和右邊同時為0.
　　解：∵右邊=-［（c-1）■+（d-2）■］
　　∵左邊=2|a-c|+■≥0，右邊=-［（c-1）■+（d-2）■］≤0
　　∴2|a-c|+■=0，-［（c-1）■+（d-2）■］=0
　　∴a-c=0，2b+d=0，c-1=0，d-2=0
　　解得a=1，b=-1，c=1，d=2
　　∴ad-bc=1×2-（-1）×1=2+1=3.
　　4.恒等變形策略.恒等即無論用何值替代等式中的字母，它的左、右兩邊總是相等.數(shù)學中的配方法、因式分解、分式的基本性質(zhì)等恒等變換都能起到將復雜問題化歸為簡單問題的作用.
　　如：若x■+mx■-nx+2能被x■-3x+2整除，試求m、n的值.
　　分析：此題可用豎式除法、待定系數(shù)法求解，不過計算比較繁瑣.x■+mx■-nx+2能被x■-3x+2整除，因而x■+mx■-nx+2=K（x■-3x+2）.若x■-3x+2=0，則x■+mx■-nx+2也一定為0.
　　解：∵x■-3x+2=0=（x-1）（x-2），∴x=1或x=2時，x■-3x+2=0.
　　∵x■-3x+2=0是x■+mx■-nx+2的一個因式，∴當x=1或x=2時，x■+mx■-nx+2=0.
　　∴1+m-n+2=0，16+4m-2n+2=0
　　解得m=-6，n=-3.
　　總之，數(shù)學問題的解決需要學生經(jīng)歷觀察、聯(lián)想、分析、類比、歸納等思維過程，把待解決的問題化歸為學生所熟知的、已解決的問題，這樣解答會容易許多.化歸思想對幫助學生完善認知網(wǎng)絡、厘清知識結構、建立新舊知識間的聯(lián)系、促進新舊知識的融合具有重要的意義.當然化歸思想是內(nèi)隱于數(shù)學知識中的，學生只有在反復實踐中才能內(nèi)化，因此我們要深入挖掘教材，在教學設計中滲透化歸思想方法，提高學生分析和解決問題的能力.