求極限的一些特殊方法

　　摘要： 求極限的方法很多，本文闡述了求極限的幾種特殊方法，并且舉例進行說明.
　　關鍵詞： 極限收斂性泰勒展開式
　　
　　1.利用定積分求和式的極限
　　利用定積分求和式的極限時，首先選好恰當的可積函數f（x），把所求極限的和式表示成f（x）在某區間［a，b］上的待定分法（一般是等分）的積分和式的極限.
　　例1:■［■+■+■+…+■］
　　解：■+■+■+…+■
　　=■［■+■+…+■］
　　可取函數f（x）=■區間為［a，b］，上述和式恰好是f（x）=■在［0，1］上n等分的積分和.
　　所以■［■+■+■…+■］
　　=■■［■+■+…+■］
　　=?蘩■■■dx
　　=■
　　2.利用級數收斂的必要條件求極限
　　利用級數收斂的必要條件：若級數■μ■收斂，則μ■→0（n→∞）.運用這個方法首先判定級數■μ■收斂，然后求出它的通項的極限.
　　例2：求■■
　　解：設a■=■，則■■=■■·■=■■·（1+■）■=0＜1.
　　由比值判別法知■a■收斂，由必要條件知■■=0.
　　3.利用泰勒公式求極限
　　例3：求
　　■■=■■=-■-■+■+0（x■）
　　解：本題可用洛比達法則求解，但是運算過程比較繁瑣，這里用泰勒公式求解，考慮到極限式的分母為x■，用麥克勞林公式表示極限的分子，取（n=4）cosx=1-■+■+0（x■）；e■=1-■+■+0（x■）
　　cosx-e■=-■+0（x■）
　　因而求得■■=■■=-■
　　4.利用迫斂性求極限
　　設■f（x）=■（x）=A，且在某u■（x■，δ′）內有f（x）≤h（x）≤g（x），則■h（x）=A.
　　例4：求■x［■］的極限
　　解.∵1≤x［■］＜1-x，且■（1-x）=1
　　由迫斂性知
　　■x［■］=1
　　做此類型題目的關鍵在于找出大于已知函數的函數和小于已知函數的函數，并且所找出的兩個函數必須收斂于同一個極限.
　　5.小結
　　從上述介紹中可以看出求極限的方法不拘一格，我們應具體問題具體分析，不能機械地套用某種方法，對具體題目要注意觀察，靈活運用恰當的方法，有時還可多種方法結合使用.
　　
　　參考文獻：
　　［1］華東師范大學數學系.數學分析（第三版）（上冊）［M］.北京：高等教育出版社，2001：119-121.
　　［2］華東師范大學.數學分析習題解析［M］.陜西：陜西師范大學出版社，2004：87-91.
　　［3］錢吉林.數學分析題解精粹［M］.武漢：崇文書局，2003：61-83.