中學數學常用的數學思想方法

　　長期以來，由于應試教育的影響，教師已習慣了重視知識的傳授而輕視對知識中蘊含的思想方法進行挖掘的傳統教學模式，現在我們必須從傳統教學模式的束縛中解脫出來，構建一種以突出數學思想方法為主、著眼于培養學生創新素質的教學模式.美國數學教育家波利亞說過，掌握數學就意味著要善于解題，而當我們解題時遇到一個新問題時，總想著用熟悉的題型去“套”，這只是滿足能解出來，只有我們對數學思想、數學方法理解透徹并融會貫通，才能提出新看法，巧解法.中學數學中常用的思想方法有函數與方程思想方法、數形結合思想方法、分類討論思想方法、轉化與化歸思想方法等，只有掌握這些方法并在解題中靈活應用，才能舉一反三地快速解題，達到事半功倍的效果.我結合自己的教學經驗對高中數學中常用的數學思想方法教學作介紹.
　　一、函數與方程的思想方法
　　函數描述了自然界中量的依存關系，是對問題本身的數量本質特征和制約關系的一種動態刻畫.因此，函數思想的實質就是提取問題的數學特征，用聯系的、變化的觀點提出數學對象，抽象其數學特征，建立函數關系，在研究方程、不等式、數列、解析幾何等其他內容時起著重要作用.
　　例：若關于x的方程9x■+(4+a)3x+4=0有正實根，求實數a的取值范圍.
　　分析：若令3x=t，則t>0，原方程有解的充要條件是方程t■+(4+a)t+4=0有正根，故解得：a≤-8.這種解法是根據一元二bRFaoyROCOJJsWnA8/cYGQ==次方程解的討論，思維方法是常規的、合理的，但很繁瑣.若采取以下解法：因為a∈R，所以原方程有解的a的取值范圍即為函數的值域，分離a，得a=-(t+■)-4，根據基本不等式得a≤-4-4=-8.可見若突破思維常規，充分利用函數與方程的轉化，則可得靈活簡捷的解法.
　　二、數形結合的思想方法
　　數性結合是將抽象的數學語言與直觀的圖形結合起來，實現代數問題與圖形之間的相互轉化.通過“以形助數，以數解形”使復雜的問題簡單化，抽象的問題具體化，有助于把握數學問題的本質，它是數學的規律性與靈活性的有機結合.
　　例：設|z■|=5，|z■|=2，|z■-■|=■，求■的值.
　　分析：利用復數模、四則運算的幾何意義，把復數問題轉化為幾何問題求解.
　　解：如圖，設z■=■，z■=■，則■=■，■=■
　　由圖可知， ■ =■，∠AOD=∠BOC，由余弦定理得：
　　cos∠AOD=■=■
　　∴■=■（■±■i）=2±■i
　　本題運用“數形結合法”，把共軛復數的性質與復平面上的向量表示、代數運算與復數的幾何意義等都表達得淋漓盡致，體現了數形結合的生動性和活潑性.一般地，復數QHcM7qJwpezdd0b3jlzFJg==問題可以利用復數的幾何意義將問題變成幾何問題，也可利用復數的代數形式、三角形式、復數性質求解.
　　三、分類討論的思想方法
　　分類討論思想就是將一個復雜的數學問題分解成若干個簡單的基礎性問題，通過對基礎性問題的解答，解決原復雜問題的思維策略，即“化整為零，各個擊破，再積零為整”.分類討論可以優化解題思路，降低問題難度.分類討論時必須明確分類的依據，常見的有依據概念分類、依據運算需要分類、依據圖形形狀位置變化分類等；要做到分類對象確定，標準統一，不重不漏，不越級討論.分類討論是高中階段最常用的思想方法之一.
　　四、等價轉化的思想方法
　　等價轉化思想是把未知解的問題轉化為在已有知識范圍內可解的問題，或者歸結為一個熟悉的具有確定解決方法和程序的問題，或者歸結為一個比較容易解決的問題，最終求得原問題解的一種重要的數學思想方法.轉化思想貫穿于整個高中數學教學中，問題解答過程的實質就是轉化的過程.
　　當然，不同的數學思想方法具有各自的優勢與缺陷，不存在一種普遍有效能解決任何數學問題的數學思想方法，同時數學思想方法之間具有互補性，有時解決一個問題需要運用幾種不同的數學思想方法.
　　例：直線L的方程為：x=-■（p＞0），橢圓中心D（2+■，0），焦點在x軸上，長半軸為2，短半軸為1，它的左頂點為A.問p在什么范圍內取值，橢圓上有四個不同的點，它們中每一個點到點A的距離等于該點到直線L的距離？
　　分析：由拋物線定義，可將問題轉化成：p為何值時，以A為焦點、L為準線的拋物線與橢圓有四個交點，再聯立方程組轉化成代數問題（研究方程組解的情況）.
　　解：由已知得：a=2，b=1，A（■，0），設橢圓與拋物線方程并聯立有：y■=2px■+y■=1，消y得：x■-（4-7p）x+（2p+■）=0
　　由△=16-64p+48p■＞0，即6p■-8p+2＞0，解得：p＜■或p＞1.
　　結合范圍（■，4+■）內兩根，設f（x）=x■-（4-7p）x+（2p+■）=0，
　　所以■＜■＜4+■即p＜■，且f（■）＞0、f（4+■）＞0即p＞-4+3■.綜上可得：-4+3■＜p＜■.
　　本題利用方程的曲線將曲線有交點的幾何問題轉化為方程有實解的代數問題.一般地，當給出方程的解的情況求參數的范圍時就可以考慮應用“判別式法”，其中特別要注意解的范圍.另外，“定義法”、“數形結合法”、“轉化思想”、“方程思想”等在本題得到了綜合運用.
　　總之，“知識”是基礎，“方法”是手段，“思想”是深化，數學素質的綜合體現就是“能力”，提高學生數學素質的核心就是提高學生對數學思想方法的認識和靈活運用能力.教師在數學教學的每一個環節，都要重視數學思想方法的教學，“授之以魚，不如授之以漁”，只有讓學生掌握好數學方法，形成數學思想，才能使學生終身受益.