數學歸納法在初等數學中的應用

摘 要： 在數學教學中，在培養學生演繹推理能力的同時要重視合情推理能力的培養，與之對應的是歸納、猜想的思想和數學歸納的方法.運用數學歸納法證明，能起到化繁為簡的作用，有助于培養學生的觀察、猜想與歸納的合情推理能力.

關鍵詞： 數學歸納法 中學數學教學 合情推理 演繹推理

數學歸納法是用來證明某些與自然數有關的數學命題的一種推理方法.運用數學歸納法處理問題，能起到化繁為簡的作用，有助于培養學生的觀察、猜想與歸納的合情推理能力.在實際教學中，教師對數學歸納法的講授和應用多停留在數列、恒等式和不等式相關問題上.其實數學歸納法在中學數學中的應用遠不止于此，它還可用來解答或證明整除性、三角函數和幾何等方面的問題.

1.數學歸納法在整除性問題上的應用

3.數學歸納法在平面幾何中的應用

例3：平面內有n個圓，其中每兩個圓都相交于兩點，且每三個圓都不相交于同一點，求證：這n個圓把平面分成n■-n+2個部分.

分析：用數學歸納法證明幾何問題，主要是搞清楚當n=k+1時比n=k時，分點增加了多少，區域增加了幾塊.本題中第k+1個圓被原來的k個圓分成2k條弧，而每一條弧把它所在的部分分成了兩部分，此時共增加了2k個部分，問題得到了解決.

證明：①當n=1時，平面內1個圓把平面分成2個部分.

4.在函數迭代中的應用

數學歸納法在中學數學中用途甚廣，可是實際上學生對數學歸納法并不能做到熟練運用，通常僅限于數列和函數方面的應用.由此導致學生在真正運用數學歸納法處理問題時常出現兩個比較重大的錯誤：一是弄不清第二步到第三步的具體變化，二是在證明時根本沒有運用到第二步的假設.因此，教師要對數學歸納法在中學數學中各個方面的應用進行深入探討，把握規律，方能做到在教學中胸有成竹，成功地引導學生掌握歸納猜想的思想和相應的數學歸納法.