讓問題真正成為數學教學的“心臟”

新課程提倡問題探究.在高中數學教學過程中，要想有效地進行問題探究，挖掘與提升數學問題的探究價值是一個重要的方面，下面筆者談談體會.

1.大膽設問，在知識形成時留下探究空間

在運用這些情境時，我們可以大膽設問，為知識的形成留下懸念，以提升問題情境的探究價值.

案例1：平均變化率（蘇教版課標教材選修2-2第1.1.1節）

教材中提供了如下“氣溫陡增”的情境：

世界充滿著變化，有些變化幾乎不被人們所察覺，而有些變化卻讓人們發出感嘆與驚呼，請看下表.

某市今年4月20日最高氣溫為33.4℃，而4月19日和4月18日最高氣溫分別為22.4℃和18.6℃，短短兩天時間，氣溫陡增了14.8℃，悶熱中的人們無不感嘆：“天氣熱得太快了！”但是，如果我們將該市今年3月18日最高氣溫3.5℃與4月18日最高氣溫18.6℃進行比較，發現兩者溫差為15.1℃，甚至超過了14.8℃，而人們卻沒有發出上述感嘆，這是什么原因呢？

我校一位公開課老師是這樣運用這個問題情境的.

師：除了用表格外，還有什么數學工具能直觀地反映上述氣溫的變化情況呢？

眾生：圖像.

師：很好！下面我們試著把這個圖像作出來.引導學生作圖（如圖1所示），過程略.

從圖像中我們的確可以直觀地看出，曲線段AB相對平緩，而曲線段BC比較陡峭.下面我們需要研究的問題是：能否從數量關系上刻畫曲線的“陡峭”程度呢？請大家先自己思考，然后小組討論后再發表意見.

（約2～3分鐘后，學生發言.）

生1：看AB、BC這兩段上的“天平均變化溫度”.

生2：連接AB與BC，比較這兩條線段的斜率.

（以下略）

該片段中，學生能從數和形兩個不同的角度提出2FsM692Bt34pklfoHxAFftzBRkUBoUUi60kKDfgAaJ0=解決問題的方案，通過運算學生就不難發現這兩者的本質是一致的，在此基礎上再來建構平均變化率的概念顯得自然而合理.該教學片段的成功之處就在于教師大膽地拋出了問題，并放手讓學生來探究.

2.子題導引，在解題教學中鋪下探究之路

有針對性地設計幾個子問題來引導學生挖掘題目的隱含條件、溝通條件與結論的聯系、揭示問題的本質或者進行必要的拓展與引申等.

案例2：不等關系（蘇教版課標教材必修5第1.1.1節）

教材對這節課的設計思路是通過具體情境中的三個問題，引導學生對問題中包含的數量關系進行分析，找出其中的不等關系，并由此建立不等式，本節課的難點就是建立相關的數學模型.請看教材中的例3：

下表給出了X、Y、Z三種食物的維生素的含量及成本：

某人欲將這三種食物混合成100kg的食品，要使混合食品中至少含35000單位的維生素A及40000單位的維生素B，設X，Y這兩種食物各取xkg、ykg，那么x、y應滿足什么關系？

在我校青年教師評優課上，一位老師在分析這道例題時設計了以下子問題讓學生來思考與探究：

問題1：食物Z取多少kg？此時食物X、Y、Z分別含維生素A、維生素B各多少單位？

問題2：如何將混合食品中有關維生素含量的要求用數學式子表示出來？

問題3：你能將相應的成本表示出來嗎？

問題4：如果你是該食品廠的經理，你準備如何來配制這種食品？（留給大家課后探究.）

只要回答出這四個子問題，不僅原問題自然地得到了解決，而且能有所拓展.這節課之所以能獲得一致好評，應該歸功于他對每一道例題所設計的子問題.

3.類題剖析，在“錯題”講評中踩下探究的腳印

在錯題講評課上，設置容易混淆的類題讓學生來探究是剖析錯因的一個有力手段.

案例3：（蘇教版課標教材必修3第3.4節例3）

黃種人群中各種血型的人所占的比例如上表所示：

已知同種血型的人可以輸血，O型血可以輸給任一種血型的人，任何人的血都可以輸給AB型的人，其他不同血型的人不能互相輸血.小明是B型血，若小明因病需要輸血，問：

（1）任找一個人，其血可以輸給小明的概率是多少？

（2）任找兩個人，當中至少有一個人的血可以輸給小明的概率是多少？

筆者在講評這道試題時，首先給出了下面兩道形似質異的題目：

題1：小明因病需要輸血，已知小明是B型血，現有100人可供輸血，其中A、B、AB、O血型的人分別有28、29、8、35人，從中任選2人，求至少有一個人的血可以輸給小明的概率是多少？

題2：小明因病需要輸血，小明是B型血，已知在黃種人群中任選一人，其血型為A、B、AB、O型的概率分別為0.28、0.29、0.8、0.35，現從中任選2人，求至少有一個人的血可以輸給小明的概率是多少？

課上，通過對這兩道類題的比較與剖析，讓學生自己探究出了答錯試題的原因；接著我們大膽地提出一個猜想：題2的條件提供的是概率，就相當于提供了無窮多人可供輸血；最后我們又從函數的單調性及極限這兩個角度驗證了該猜想，進而找到了這兩道題之間的聯系.如此講評錯題，學生不僅知道該怎么做，而且知道為什么要這樣做.