基于小波變換算法的數字信號處理在FPGA中的實現

摘 要：傳統中人們對數字信號的處理，特別是在硬件中對數字信號的處理，大都利用傅里葉變換，傅里葉變換在處理信號上有其自己的優點，但隨著科技的快速發展，信號處理對處理算法需求越來越多，而傅里葉變換自身的缺點越來越大，遠遠滿足不了現代信號處理領域的需求，而近些年來，小波變換以其獨特的優勢得到越來越多研究者的重視，其對數字信號的處理克服了傅里葉變換只能在單一的頻域上對信號處理而拋棄了信號時域的信息的缺點，從信號時域和頻域上對信號進行多尺度、多分辨率分析，尤其對非平穩信號的處理效果非常明顯，大大推動了現代數字信號處理領域的發展。本文在小波變換理論的基礎上，探討其對數字信號處理在FPGA上的實現。

關鍵詞：小波變換；數字信號處理；多分辨率分析；FPGA

中圖分類號：TP391.41 文獻標識碼：A 文章編號：1674-7712 （2013） 22-0000-01

一、小波變換

在介紹小波變換之前，我們先分析一下傅里葉變換的信號處理中的應用，傳統中，傅里葉變換是把信號從時域轉化到其頻域中，通過其頻域中的某些特征對其進行處理，但其不能表征信號任何時域信息。但是，在大多數情況下，人們想要在分析信號頻域信息的同時，也得到信號在時域的某些特征信息，此時，傅里葉變換就不合適對信號處理了。

另外，對于傅里葉變換比較了解的知道，傅里葉變換在處理平穩信號時效果比較好，但在處理非平穩信號時，有時需要區分不同的頻率成分，并且有時還需要得到每個時刻附近的頻率的成分，此時，傅里葉變換就做不到了。

然而，小波分析是近些年來發展起來的一種新的時頻分析方法，克服了傅里葉變換在對信號進行頻域分析時不能表征信號時域信息的缺點，而且小波變換在分析信號時具有多分辨率分析的特點。通常情況下，人們知道信號的低頻部分由于比較平穩，可以采用比較低的時間分辨率，以便提高信號的頻率分辨率；而信號的高頻部分由于頻率變化不大，可以降低頻率分辨率來提高信號的時間分辨率。小波變換正好具有這方面的優點，即對信號分析有多分辨率分析得特點，因此也被稱為“數學顯微鏡”。

下面，我們來看一下小波變換的數學理論：

設函數ψ（t）∈L2（R），并且滿足

∫_R?〖ψ（t）dt=0〗

則稱ψ（t）為母小波函數，對母小波進行伸縮和平移就會得到小波函數系

ψ_（a，b） （t）=1/√（|a| ） ψ（（t-b）/a）

其中a為尺度因子，b為伸縮因子，然后就可以對信號進行小波變換，設信號為f（t）

Wψf（a，b）=f（t）*ψa，b（t）

Mallat算法是一種小波變換的快速算法，其在小波分析中的作用猶如快速傅里葉變換在傅里葉分析中的作用一樣，其在1988年由法國學者Mallat提出，極大地推動了小波理論的發展。根據此算法，若f（k）為信號f（t）的離散采樣數據，且f（k）=C0，k，則f（t）的小波變換為：

Cj，k=∑mCj-1，kh（m-2k）

dj，k=∑mCj-1，kg（m-2k）

其中Cj，k為尺度系數，dj，k為小波系數；h，g分別為低通和高通濾波器；j為尺度空間的尺度數。相應的小波重構為：

Cj-1，m=∑mCj，kh（m-2k）+∑mdj，kg（m-2k）

二、FPGA介紹

FPGA（Field Programmable Gate Array）是現場可編程門陣列，作為專用集成電路領域中的一種半定制電路而出現，和數字信號處理芯片DSP發展已有二十多年，但早期由于FPGA造價較高，相對DSP優勢不明顯，然而隨著科技的迅速的發展，FPGA的成本大大降低，而且各種性能得到很大改善，逐漸顯示出其在數據處理中的強大優勢。與DSP數字信號處理器相比，FPGA的高度并行結構讓其在處理數據的性能遠高于串行處理數據的DSP處理器，FPGA相對DSP數字信號處理器最大的優勢就在于FPGA內在的并行處理機制，并且FPGA為不同的配置文件分配不同的硬件結構和功能，處理數據時靈活性和通用性較強，但是，對于DSP來說，雖然它可以加載不同的軟件實現不同的功能，這樣一來系統的靈活性就會大大降低，影響對數據的處理速度，另外，FPGA對數據的處理速度較之DSP處理器較高。

三、小波變換在FPGA上的實現

小波變換算法實現的框圖如下圖所示，我們先把輸入的信號按二進制存儲到待處理信號存儲器中，然后把小波變換算法的各種系數按二進制存儲到特定存儲此算法數據的存儲模塊中，通過控制模塊發送指令把待處理的信號數據和需要用到的算法數據傳入信號處理模塊，接著利用控制模塊發送指令對需要處理的信號進行小波變換處理，再把處理后的信號存入處理后信號存儲器中，最后通過控制模塊可以把處理后的信號輸出到計算機存儲或示波器中顯示。

圖1 小波變換實現框圖

四、結束語

本文先分析傅里葉變換在數字信號處理方面的優點，但隨著科技的發展，其在數字信號處理方面的局限性限制數字信號處理的發展，而隨后闡述了近些年來發展起來的小波變換理論，其克服了傅里葉變換在數字信號方面只在單一的頻域對信號進行表征的和對非平穩信號處理無能為力的缺點，在時頻域上對信號進行分析，以及對FPGA在數字信號處理方面的應用做一定的研究，然后根據它們的特點把小波變換在FPGA上實現，以便有利于對數字信號在時域和頻域進行處理，改善數字信號處理質量。

參考文獻：

[1]黃靖淇.基于FPGA的數字信號的算法淺談[J].電子制作，2013（12）.

[2]吳志林，王超，李杰.一基于提升算法的離散小波變換FPGA實現[J].2007（01）.