關于在數學教學中落實《數學課程標準（2011年版）》10個核心概念的思考與實踐（一）

編者按：

《數學課程標準（2011年版）》在課程內容中提出了10個核心概念，應該說它們是義務教育階段數學課程內容的核心，也是教材的主線，它們的提出更有利于教師理解課程內容的本質、把握課程內容的線索、抓住教學中的關鍵。同時，它們也是數學課程的目標點，也應該成為數學課堂教學的目標，并通過教師的教學予以落實，從而發展學生的數學素養。因此把握好這些核心概念無論對于教師教學和學生學習都是極為重要的。為了更好地讓教師理解和掌握，本刊特邀哈爾濱市道外區數學研究團隊對10個核心概念進行精心解讀。

主持人：

《數學課程標準（2011年版）》已經實行了一年多了，圍繞著變與不變，老師們都進行了個性化的學習。關于提出的10個核心詞，趙老師能不能宏觀地從整體上談談看法？

趙升龍：

這10個核心概念是：數感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數據分析觀念、運算能力、推理能力、模型思想、應用意識、創新意識。可以理解為四個層次：

1.新增加了核心概念：運算能力、幾何直觀、模型思想、創新意識。

2.敘述上作了調整：符號感調整為符號意識；統計觀念調整為數據分析觀念。

3.雖然敘述上沒有變化，但是內涵卻發生了變化：數感《新標準》去掉了《實驗稿》中對于數感描述中與運算有關的某些內容，將其獨立為另一個核心概念：運算能力。空間觀念將《實驗稿》中最后一條“能運用圖形形象的描述問題，利用直觀來進行思考”獨立為另一個核心概念“幾何直觀”。

4.敘述上沒有變化，內涵也基本保持了原來的說法：推理能力，應用意識。

一種感悟：數感。

一種思想：模型思想。

兩種觀念：空間觀念、數據分析觀念。

三種能力：運算能力、推理能力、幾何直觀。

三種意識：符號意識、應用意識、創新意識。

依據應用的領域不同又可以分為三個層次：

第一層，主要體現在某一內容領域的核心概念。數感、符號意識、運算能力主要體現在數與代數領域，空間觀念主要體現在圖形與幾何領域，數據分析觀念主要體現在統計與概率領域；

第二層，體現在不同內容領域的核心概念，包括幾何直觀、推理能力和模型思想；

第三層，超越課程內容，整個小學數學課程都應特別注重培養學生的應用意識和創新意識。

主持人：

《數學課程標準（2011年版）》為什么要把符號感調整為符號意識？把統計觀念調整為數據分析觀念？

趙升龍：

鄭毓信教授認為：“有必要對‘感’‘觀念’‘能力’‘意識’這樣幾個詞的作用作出清楚的說明……‘符號感’這一用詞實在值得商榷，因為我們似乎很難想象什么是對于符號的敏感性。”

符號：是指具有某種代表意義的標識。來源于規定或者約定成俗，其形式簡單，種類繁多，用途廣泛，具有很強的藝術魅力。

意識：在心理學中定義為人所特有的一種對客觀現實的高級心理反映形式。一般認為意識中最重要的是自我意識。其實自我意識就是個人對外界刺激總體性的、獨特的反應。自我意識并不是生來就有的，而是人在成長過程中從具體的反應事件中綜合出來的，用于調控自我內部和與外界關系。

符號感中的“感”——人們對特定事物或經歷所產生的感想與體悟。

符號意識中的“意識”——個人對外界刺激總體性的、獨特的反應。

符號感主要的不是意識、直覺。最重要的內涵是運用符號進行數學思考和表達，進行數學活動。“符號意識”有兩個意思：第一，用符號可以進行運算，可以進行推理； 第二，用符號進行的運算和推理得到的結果具有一般性。數學的本質是概念和符號，并通過概念和符號進行運算和推理。所以用“意識”比較合適。 將“符號感”更名為“符號意識”，更加強調學生主動理解和運用符號的心理傾向。 符號意識主要是指能夠理解并且運用符號表示數、數量關系和變化規律。這強調了符號表示的作用。知道使用符號可以進行運算和推理，得到的結論具有一般性。這一條，強調了“符號”的一般性特征。因為用數進行的所有運算都是個案，而數學要研究一般問題，一般問題須要通過符號來表示。因此一方面符號可以像數一樣進行運算和推理，另外通過符號運算和推理得到的結論是具有一般性。 比較兩個版本的課程標準，除了概念的厘清外，（2011年版）去掉了“能從具體情境中抽象出數量關系和變化規律”，增加了 “知道使用符號可以進行一般性的運算和推理”，總體上減小了難度，“有助于學生理解符號的使用是數學表達和進行數學思考的重要形式”。

將“統計觀念”更名為“數據分析觀念”，點明了統計的核心是數據分析。 “數據分析觀念”更加突出了統計與概率獨特的思維方法：體會數據中蘊涵著的信息；根據問題的背景選擇合適的方法；通過數據分析體驗隨機性。核心詞——由“統計觀念”變為“數據分析觀念”，原來是圍繞“統計”來思考問題、認識統計對決策的作用、對統計過程作出評價，現在是圍繞“數據分析”來界定，更加明確和細致，并且點明了統計的核心是數據分析。 溝通了“統計”與“概率”的聯系，突出了統計與概率研究中獨特的思維方式：體會數據中蘊涵著信息，根據問題的背景選擇合適的方法，通過數據分析體驗隨機性。同樣點明了數據隨機性最主要的兩層含義：一是對于同樣的事情每次收集到的數據可能不同，二是只要有足夠的數據就可能從中發現規律。

發展數據分析觀念的三個要求：

過程性要求：讓學生經歷收集、整理、描述、分析數據的全過程，通過數據分析作出決策和推斷，并體會數據中蘊涵的信息。

方法性要求：根據問題的背景選擇合適的數據分析方法。

體驗性要求：通過數據分析體驗隨機性。

主持人：趙老師能不能對新增的像幾何直觀、運算能力、模型思想等核心詞做一下解讀？

趙升龍：

幾何直觀，分兩部分：一部分是幾何，在這里幾何是指圖形，另一部分是直觀，直觀不僅僅是指直接看到的東西，直接看到的是一個層次，更重要的依托現在看到的東西、以前看到的東西進行思考、想象，綜合起來幾何直觀就是依托、利用圖形進行數學的思考、想象。它是一種能力，一種想象能力。

這里很容易讓我們想起“數形結合”， 華羅庚曾這樣說： “數形本是相倚依，焉能分作兩邊飛？數缺形時少直觀，形少數時難入微。數形結合百般好，隔家分離萬事休。幾何代數統一體，永遠聯系莫分離。”特別是到了初中、高中學習函數、解析幾何等知識時這個特點體現的更為明顯。所以，在小學階段培養學生的幾何直觀有著重要的奠基意義。

幾何直觀是具體的，不是虛無的，它與數學的內容緊密相聯。很多重要的數學內容既有“數的特征”，也有“形的特征”，必須從兩個角度認識它們，否則就不能很好地理解它們，掌握它們，只有這樣才能讓這些內容、概念變得形象、直觀，變得可以運用它們去思考問題，形成幾何直觀能力。

幾何直觀是指利用圖形描述幾何或者其他數學問題、探索解決問題的思路、預測結果。在許多情況下，借助幾何直觀可以把復雜的數學問題變得簡明、形象。幾何直觀可以幫助學生直觀地理解數學，在整個數學學習過程中都發揮著重要作用。

比如：這個一個沒有學過相遇問題的學生在求相遇時間的思考過程。

再如：對于這樣一組異分母分數的計算通過看圖再直觀不過了。

關于學生幾何直觀的培養，應該在教學中使學生逐步養成畫圖習慣。

在日常教學中，幫助學生養成畫圖的習慣是非常重要的。可以通過多種途徑和方式使學生真正體會到畫圖對理解概念、尋求解題思路帶來的益處。無論計算還是證明，邏輯的、形式的結論都是在形象思維的基礎上產生的。在教學中應有這樣的導向：能畫圖時盡量畫，只有在解決問題的過程中才能發現問題；只有在畫線段的過程中才能學會畫線段圖；簡單的問題為了解決這個問題可以不畫線段圖，但是將來為了能用線段圖來解決復雜的問題，可能就須要開始學習畫線段圖；其實質是將相對抽象的思考對象“圖形化”，盡量把問題、計算、證明等數學的過程變得直觀，直觀了就容易展開形象思維。

掌握、運用一些基本圖形解決問題。

把讓學生掌握一些重要的圖形作為教學任務，貫穿在義務教育階段數學教學、學習的始終。例如，圖形，還有數軸，方格紙，直角坐標系等。在教學中要有意識地強化對基本圖形的運用，不斷地運用這些基本圖形去發現、描述問題，理解、記憶結果。

（作者單位：哈爾濱市道外區教師進修學校）