注重題后反思 提升思維品質

解題是數學教學活動的一個重要組成部分，在提高學生的數學認知能力和數學思維能力，培養學生的創新能力等方面起著不可替代的作用。要提高數學解題能力，提升思維能力，除了正確運用數學知識，善于分析題意，選擇簡潔的解題途徑，還應在解題后對解題過程進行分析、歸納、總結、反思。筆者認為，讓學生在題后反思，能夠促使其較好地掌握數學知識和方法，全面提升學生的思維品質。

一、問卷調查

1.調查對象

為深入了解學生對題后反思這一學習方法的認知程度，筆者選取了鄭州市兩所中職學校的516名學生為調研對象，并向其發放了調查問卷。

2.調查方法與結果

問卷調查法。筆者設計了《數學題后反思調查問卷》，選取了10道與數學題后反思學習相關的選擇題，形成問卷的初稿。選A得3分，選B得2分，選C得1分，得分越高說明該生題后反思能力越強。調查結果統計顯示，總分在24分以上的有125人，占被測人數的24.2%；總分在18～23分的有172人，占被測人數的33.3%；總分在18分以下的有219人，占被測人數的42.4%。由此得出結論，大部分學生只是為了完成任務而解題，只要能解出正確答案就行，對自己的解題方法和解題過程從來不加以分析和反思，忽視了歸納數學思想方法，放棄了把感悟由經驗上升到規律、由感性上升到理性的機會。長此以往，學生解題思路狹窄，思維的靈活性也得不到提高。

二、題后反思教學法的好處

以上調查表明，題后反思這一方法值得大力推廣，好處有三。

1.梳理思路，化零為整

解完一道題后不妨讓學生捋一下解題程序，有時會突然發現，一道題的解題模式竟涵蓋了很多同類題型的解題方法。這時要引導學生利用遷移規律來解決問題，提高自主學習能力。

如解一元一次不等式3x+6>2-x時，學生很容易得出解題過程，但是如果再對解題過程展開進一步的分析，就會發現解所有一元一次不等式的“三部曲”——移項、合并同類項和三系數化為一。在分析與總結的過程中又回顧了如何移項，哪些是同類項以及不等式的基本性質，一舉三得。這樣，有利于深化學生對數學知識和解題方法的認識，使其真正領悟到數學的知識結構，促進其創造性思維能力的發展。

2.一題多解，培養思維

在學生解答完題目后，教師要引導學生反思解題的過程，尋找最佳解題方案，提高學生的解題能力。如，想想這道題是怎樣做出來的？回憶一下你思考的全過程？為什么要這樣做？還有沒有其他的方法？如果有，哪種方法更好？等等，幫助學生進行反思。

例題：已知{a}為等差數列，其前10項的和S=100，前100項的和S=10，求前110項的和S

這道題目，學生獨立完成后都紛紛發表想法，不少同學采取了這樣的解法：要求等差數列的和可先求首項及公差，利用方程思想（常規解法）

設數列{a}的首項為a，公差為d，則10a+×10×9d=100。

100a+×100×99d=10 求出a，d

再由S=110a+d，得出結論。

但還有不少同學選用這樣的解法：函數思想（待定系數法）

數列{a}的前n項和S=A+Bn，則

100A+10B=100

10000A+100B=10，解出A=-，B=

再由S=A×110+B×110=-110

還有個別學生選用這樣的解法：利用性質（簡化運算）

因為數列{a}為等差數列

∴S-S=a+a+……+a==-90

∴a+a=a+a=-2，∴S==-110

學生解題后，教師提出問題要求學生反思，如“想想這道題是怎樣做出來的？回憶一下你思考的全過程”。并要求學生用自己的數學語言進行概述，說說自己的解題方法，再對每種方法進行評價。前兩種都是很常用的解法，而后一種解法簡單明了，見解很獨到。最后讓學生在保留自己解題方法的基礎上，也參考一下別人的方法，把自己的方法和別人的方法進行比較，最后積累屬于個人的知識組塊。通過此題采用多種解法解答激發了學生的創新思維，能夠進一步增強學生勇于探索的科學精神。

3.糾錯補漏，加強訓練

在解題過程中，出現錯誤是不可避免的，關鍵是尋找錯因：究竟是知識的負遷移，還是落入命題者的“陷阱”？這樣在數學教學中應有意識地選編典型易錯題進行訓練，引導學生對錯誤進行全方位地反思，從試誤、糾錯再到正確的過程中，幫助學生弄清錯誤的根源，提高反思能力。

如：求過點（0，1）的直線，使它與拋物線y2=2x僅有一個交點。

許多學生是這樣解的：設所求的過點（0，1）的直線為y=kx+1，則它與拋物線的交點為

y=kx+1y2=2x. ，消去y得（kx+1）2-2x=0。

整理得k2x2+（2k-2）x+1=0。

∵直線與拋物線僅有一個交點，∴△=0解得k=

∴所求直線為y=x+1

如果做過題后進行檢查就會發現此解法共有三處錯誤：

第一，設所求直線為y=kx+1時，沒有考慮k=0與斜率不存在的情形，實際上就是承認了該直線的斜率是存在的，且不為零，這是不嚴密的。

第二，題中要求直線與拋物線只有一個交點，它包含相交和相切兩種情況，而上述解法沒有考慮相切的情況，只考慮相交的情況。原因是對于直線與拋物線“相切”和“只有一個交點”的關系理解不透。

第三，將直線方程與拋物線方程聯立后得一個一元二次方程，要考慮它的判別式，所以它的二次項系數不能為零，即k≠0，而上述解法沒做考慮，表現出思維不嚴密的問題。

正確解法應該是：①當所求直線斜率不存在時，即直線垂直x軸，因為過點（0，1），所以x=0即y軸，它正好與拋物線y2=2x相切。

②當所求直線斜率為零時，直線為y = 1平行x軸，它正好與拋物線y2=2x只有一個交點。

③一般地，設所求的過點（0，1）的直線為y=kx+1（k≠0），

則y=kx+1y2=2x ，∴ k2x2+（2k-2）x+1=0

令Δ=0，解得k = ，

∴？搖所求直線為y=x+1

綜上，滿足條件的直線為：y=1，x=0，y=x+1

解完題后，如果能反思一下解題過程，不僅能鞏固已學的知識，避免解題的疏漏或錯誤，更重要的是還能對解題思路進一步整理、歸納，對原題進行引申發展，達到深化知識、積累經驗的目的。在教學中，不失時機地通過引導學生進行“一題多解”訓練，通過廣泛的聯想，使我們的思維觸角伸向不同的方向，不同的層次，這樣不僅能鞏固所學知識，而且能較好地培養學生思維的廣闊性。

總之，在數學教學中，要逐步培養學生的題后反思意識，在數學活動中不斷進行回顧、總結、評價和調節，讓學生在題后反思的過程中自我成長，學會學習，掌握數學知識和方法，全面提升思維品質。（責編 王鵬飛）