對曲線方程教學(xué)的幾點(diǎn)建議

摘要：在數(shù)學(xué)教學(xué)中，以概念教學(xué)為主講清曲線和方程的概念，使學(xué)生理解并初步掌握直角坐標(biāo)系中曲線與方程的關(guān)系和軌跡的概念；通過數(shù)、形結(jié)合思想的教學(xué)，使學(xué)生了解曲線和方程是同一個(gè)運(yùn)動(dòng)規(guī)律在“形”和“數(shù)”這兩個(gè)不同側(cè)面上的反映，這些是提高曲線方程教學(xué)的有效方法。

關(guān)鍵詞：曲線方程；教學(xué)；建議

在初中代數(shù)的函數(shù)及其圖像部分已出現(xiàn)過平面上點(diǎn)的坐標(biāo)的概念，實(shí)際上這是平面解析幾何的第一個(gè)基本概念。而高中學(xué)習(xí)曲線和方程的概念則是平面解析幾何的第二個(gè)基本概念。點(diǎn)和坐標(biāo)的對應(yīng)、曲線和方程的對應(yīng)，集中地反映了解析幾何的基本思想和基本方法。至此，解析幾何才從理論和方法上系統(tǒng)地進(jìn)入對本學(xué)科的基本問題的研究，即根據(jù)已知條件，求出平面曲線的方程，再通過方程，研究平面曲線的性質(zhì)，為以后的圓錐曲線內(nèi)容作了理論和方法上的準(zhǔn)備，它在平面解析幾何有承上啟下的作用。

一、從學(xué)生實(shí)際出發(fā)，講清曲線和方程的概念

1.聯(lián)系平面幾何中的軌跡概念，講清曲線和方程的概念

由于曲線和方程的對應(yīng)關(guān)系比較抽象，學(xué)生不易理解，教師在教學(xué)中必須注意從學(xué)生的知識(shí)實(shí)際出發(fā)，可以先適當(dāng)?shù)貜?fù)習(xí)平面幾何中有關(guān)軌跡的概念，再把曲線和方程的概念與平面幾何中軌跡的概念相比較，弄清這兩個(gè)概念間的聯(lián)系和區(qū)別，這對于學(xué)生掌握曲線和方程的概念十分必要。平面幾何中的軌跡就是平面內(nèi)適合某種條件的點(diǎn)的集合，而解析幾何中曲線和方程的概念，是把平面上的曲線置放在平面直角坐標(biāo)系后再建立起來的。由于平面內(nèi)的點(diǎn)與作為它的坐標(biāo)的有序?qū)崝?shù)對建立了一一對應(yīng)的關(guān)系，曲線上的點(diǎn)所滿足的條件反映在點(diǎn)的橫坐標(biāo)x與縱坐標(biāo)y之間有一定關(guān)系，這個(gè)關(guān)系通常用關(guān)于x、y的方程f（x，y）=0表示出來。也就是說，平面軌跡中的幾何條件在曲線和方程的概念中被轉(zhuǎn)化成方程了，因此，曲線和方程的概念與軌跡的概念一樣，有它的純粹性和完備性。“曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解”，闡明曲線上沒有坐標(biāo)不滿足方程的點(diǎn)（純粹性），“以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上”，闡明適合條件的所有點(diǎn)都在曲線上（完備性）。

2.從集合的意義來理解曲線和方程的概念

如果把直角坐標(biāo)平面上曲線上的點(diǎn)所組成的點(diǎn)集記作A，方程，f（x，y）=0的解所對應(yīng)的點(diǎn)的集合記作B，那么，曲線和方程之間有兩種關(guān)系：

（i）曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解；

（ii）以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)，反映在集合A和B之間的關(guān)系上，就是A=B。

引導(dǎo)學(xué)生從兩個(gè)集合相等的意義上來理解上述兩條規(guī)定的必要性，有助于學(xué)生掌握曲線和方程的概念。

3.要注意引用反例，以加深對曲線和方程概念的理解

曲線與方程之間的關(guān)系可以有三種情形：

①上述關(guān)系（i）（ii）都滿足的；

②只滿足關(guān)系（i）的；

③只滿足關(guān)系（ii）的。

對于后兩種情形，它們的方程的解集與曲線的點(diǎn)集不一一對應(yīng)。在情況②中，有曲線外的點(diǎn)，它的坐標(biāo)是方程的解在情況③中，曲線上存在點(diǎn)，它的坐標(biāo)不是方程的解。②③兩種情形下的方程不能叫曲線的方程，曲線也不能叫方程的曲線。

到坐標(biāo)軸距離相等的點(diǎn)所形成的曲線與方程y=x之間的關(guān)系，屬于上述第③種情形。

二、通過數(shù)、形結(jié)合思想的教學(xué)，對學(xué)生進(jìn)行對立統(tǒng)一觀點(diǎn)的教育

求曲線的方程問題貫穿解析幾何的始終，剛開始，教學(xué)中所涉及的曲線應(yīng)以學(xué)生學(xué)過的圖形為主，求曲線的方程時(shí)所用到的代數(shù)運(yùn)算不宜過繁（如要有理化的二次根式，不超過兩個(gè)），在教學(xué)舉例中應(yīng)盡量選用結(jié)論和運(yùn)算都比較簡明的問題，這樣就有利于突出重點(diǎn)，闡明求曲線方程的每一個(gè)步驟的意義。

1.在求曲線的方程時(shí)，首先要建立坐標(biāo)系。在具體問題中有兩種情形：一是研究的問題已經(jīng)給定了坐標(biāo)系，此時(shí)就在給定的坐標(biāo)系中求方程即可；二是問題中沒有確定坐標(biāo)系，此時(shí)必須首先選取適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，這兩種情形都應(yīng)通過典型的例題來作說明。特別對第二種情形，應(yīng)通過舉例，對同一問題所選取的幾種不同坐標(biāo)系作比較，讓學(xué)生理解坐標(biāo)系選取得適當(dāng)，可以使運(yùn)算簡單，所得的方程也較簡單的道理，這將有利于對曲線的研究。通常應(yīng)讓學(xué)生逐步掌握下列幾種選曲坐標(biāo)系的方法，

若條件中只出現(xiàn)一個(gè)定點(diǎn)（或一個(gè)定圓），常以定點(diǎn)（或定圓的圓心）為原點(diǎn)去建立直角坐標(biāo)系；

若已知兩個(gè)定點(diǎn)A、B（或定線段AB），常以AB的中點(diǎn)O為原點(diǎn)，AB為x軸建立直角坐標(biāo)系；

若已知兩條互相垂直的定直線，就以它們?yōu)樽鴺?biāo)軸建立直角坐標(biāo)系；

若已知一定點(diǎn)A和一條定直線l，常以點(diǎn)A到直線l的垂直線段的中點(diǎn)為原點(diǎn)，以點(diǎn)A到直線l的垂線的反向延長線為留軸建立直角坐標(biāo)系；

若已知定角，常以定角的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，定角的角平分線為x軸建立直角坐標(biāo)系；當(dāng)定角為直角時(shí)，則以角的兩邊為坐標(biāo)軸建立直角坐標(biāo)系。

教師還應(yīng)向?qū)W生指明，同一條曲線，在不同的坐標(biāo)系中，方程是不同的，但它們始終表示同一條曲線。

2.要解決好由曲線上的點(diǎn)所要適合的條件列出等式求曲線方程這一難點(diǎn)，特別要注意尋找隱蔽在條件中的等量關(guān)系。為了解決這個(gè)難點(diǎn)，建議：（1）在舉例和練習(xí)上要由淺入深，盡量從簡單明顯的等量關(guān)系開始，逐步加深。（2）對幾何圖形中等量關(guān)系比較復(fù)雜和隱蔽的例題，教學(xué)中應(yīng)對有關(guān)的知識(shí)做必要的復(fù)習(xí)或提示。（3）在分析數(shù)量關(guān)系時(shí)，要求學(xué)生仔細(xì)審題，要著重分析已知條件和曲線的特征，要抓住與所設(shè)的曲線上任意一點(diǎn)有關(guān)的等量關(guān)系。

3.要重視用正確的坐標(biāo)式去替代等量關(guān)系的訓(xùn)練。用坐標(biāo)表示條件后就將幾何等量關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程了，轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵是能用正確的解析式去替代幾何量，為了使學(xué)生較好地掌握這個(gè)環(huán)節(jié)，可以在復(fù)習(xí)坐標(biāo)法的基礎(chǔ)上加以訓(xùn)練，并引導(dǎo)學(xué)生作歸納、小結(jié)。

總之，曲線方程是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分，對學(xué)生的分析能力、邏輯思維等提高有著促進(jìn)作用，因此，我們數(shù)學(xué)教師要不斷探索和研究有效的教學(xué)方法。

參考文獻(xiàn)：

1.奚定華.平面解析幾何.上海教育出版社，2003（1）.

2.郎咸平.新編平面解析幾何解題方法全書.哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2010（1）.