拉格朗日乘數(shù)法在經(jīng)濟(jì)最優(yōu)化中的應(yīng)用

摘 要：高等數(shù)學(xué)在經(jīng)濟(jì)研究中應(yīng)用越來越廣泛，推動(dòng)了經(jīng)濟(jì)學(xué)的快速發(fā)展。結(jié)合實(shí)例，對(duì)拉格朗日乘數(shù)法在經(jīng)濟(jì)最優(yōu)化中的應(yīng)用進(jìn)行探討與研究。

關(guān)鍵詞：拉格朗日乘數(shù)法；經(jīng)濟(jì)；最優(yōu)化；應(yīng)用

中圖分類號(hào)：O172.1 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1673-291X（2013）28-0005-02

在數(shù)學(xué)最優(yōu)化問題中，拉格朗日乘數(shù)法是以數(shù)學(xué)家約瑟夫·路易斯·拉格朗日命名一種尋找變量受一個(gè)或多個(gè)條件所限制的多元函數(shù)的極值的方法。

一、拉格朗日乘數(shù)法

設(shè)二元函數(shù)f（x，y）和？漬（x，y）在區(qū)域D內(nèi)有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則求z=f（x，y）在D內(nèi)滿足條件？漬（x，y）=0的極值問題，可以轉(zhuǎn)化為求拉格朗日函數(shù)L（x，y，λ）=f（x，y）+λ？漬（x，y）（其中λ為某一常數(shù)）的無條件極值問題。

于是，求函數(shù)z=f（x，y）在條件？漬（x，y）=0的極值的拉格朗日乘數(shù)法的基本步驟為：

（1） 構(gòu)造拉格朗日函數(shù)L（x，y，λ）=f（x，y）+λ？漬（x，y）其中λ為某一常數(shù)；

（2） 由方程組Lx=fx（x，y）+λ？漬x（x，y）=0Ly=fy（x，y）+λ？漬y（x，y）=0Lλ=？漬（x，y）=0

解出x，y，λ，其中x，y就是所求條件極值的可能的極值點(diǎn)。

拉格朗日乘數(shù)法可推廣到自變量多于兩個(gè)而條件多于一個(gè)的情形。拉格朗日乘數(shù)法只給出函數(shù)取極值的必要條件，因此按照這種方法求出來的點(diǎn)是否為極值點(diǎn)，還需要加以討論。不過在實(shí)際問題中，往往可以根據(jù)問題本身的性質(zhì)來判定所求的點(diǎn)是不是極值點(diǎn)（或最值點(diǎn)）。由于在經(jīng)濟(jì)學(xué)中都是具體的實(shí)際問題，比如，求產(chǎn)量最高、利潤(rùn)最大等，它們的最值是否存在是一目了然的，所以拉格朗日乘數(shù)法在經(jīng)濟(jì)最優(yōu)化中有著廣泛的應(yīng)用。

二、拉格朗日乘數(shù)法在經(jīng)濟(jì)最優(yōu)化中的應(yīng)用實(shí)例

實(shí)例1 現(xiàn)在已知某制造商的Cobb-Douglas生產(chǎn)函數(shù)是f（x，y）=100x3/4y1/4，每個(gè)勞動(dòng)力與每單位資本的成本分別是150元及250元。該制造商的總預(yù)算是50 000元。問他該如何分配這筆錢用于雇用勞動(dòng)力與資本，以使生產(chǎn)量最高。

解 這是個(gè)條件極值問題，求函數(shù)f（x，y）=100x3/4y1/4在條件150x+250y=50 000下的最大值。令L（x，y，λ）=100x3/4y1/4+

λ（50 000-150x-250y），由方程組

Lx=75x-1/4y1/4-150λ=0Ly=25x3/4y-3/4-250λ=0Lλ=50 000-150x-250y=0 中的第一個(gè)方程解得

λ=■x-1/4y1/4將其代入第二個(gè)方程中，得

25x3/4y-3/4-125x-1/4y1/4=0

在該式兩邊同乘x1/4y3/4有25x-125y=0即x=5y。將此結(jié)果代入方程組的第三個(gè)方程得x=250，y=50，即該制造商應(yīng)該雇用250個(gè)勞動(dòng)力而把其余得部分作為資本投入，這時(shí)可獲得最大產(chǎn)量f（250，50）=16 719。

實(shí)例2 設(shè)某電視機(jī)廠生產(chǎn)一臺(tái)電視機(jī)的成本為c，每臺(tái)電視機(jī)的銷售價(jià)格為p，銷售量為x。假設(shè)該廠的生產(chǎn)處于平衡狀態(tài)，即電視機(jī)的生產(chǎn)量等于銷售量。根據(jù)市場(chǎng)預(yù)測(cè)，銷售量與銷售價(jià)格為p之間有下面的關(guān)系：

x=Me-ap （M>0，a>0） （1）

其中M為市場(chǎng)最大需求量，a是價(jià)格系數(shù)。同時(shí)，生產(chǎn)部門根據(jù)對(duì)生產(chǎn)環(huán)節(jié)的分析，對(duì)每臺(tái)電視機(jī)的生產(chǎn)成本c有如下測(cè)算：

c=c0-klnx （k>0，x>1） （2）

其中c0是只生產(chǎn)一臺(tái)電視機(jī)時(shí)的成本，k是規(guī)模系數(shù).根據(jù)上述條件，應(yīng)如何確定電視機(jī)的售價(jià)p，才能使該廠獲得最大利潤(rùn)？

解 設(shè)廠家獲得的利潤(rùn)u，為每臺(tái)電視機(jī)售價(jià)為p，每臺(tái)生產(chǎn)成本為c，銷售量為x，則u=（p-c）x。于是問題化為利潤(rùn)函數(shù)u=（p-c）x在附加條件（1）、（2） 下的極值問題。利用拉格朗日乘數(shù)法，作拉格朗日函數(shù)：L（x，p，c，λ，μ）=（p-c）x+

λ（x-Me-ap）+μ（c-c0+klnx）。（下轉(zhuǎn)74頁）

（上接5頁）

令Lx=（p-c）+λ+kμ/x=0，Lp=x+λaMe-ap=0，Lc=-x+μ=0。

將 （1）代入 （2），得c=c0-k（lnM-ap） （3）

由 （1）及Lp=0知 λa=-1即λ=-1/a （4）

由Lc=0知x=μ即x/M=1。將（3）（4）（5）代入Lx=0，得p-c0+k（lnM-ap）-1/a+k=0，

由此得p*=■

由問題本身可知最優(yōu)價(jià)格必定存在，故這個(gè)p*就是電視機(jī)的最優(yōu)價(jià)格。

三、小結(jié)

本文列舉了拉格朗日乘數(shù)法在經(jīng)濟(jì)最優(yōu)化中應(yīng)用的兩個(gè)實(shí)例。從中可以看出，在經(jīng)濟(jì)學(xué)中涉及到有約束條件的最值問題可以用拉格朗日乘數(shù)法來完成。總之，高等數(shù)學(xué)在經(jīng)濟(jì)研究中應(yīng)用越來越廣泛，推動(dòng)了經(jīng)濟(jì)學(xué)的快速發(fā)展。

參考文獻(xiàn)：

[1] 吳贛昌.微積分[M].北京：中國(guó)人民大學(xué)出版社，2006：10.

[2] 吳傳生.經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)（微積分）[M].北京：高等教育出版社，2003：6.[責(zé)任編輯 吳高君]

收稿日期：2013-08-19

作者簡(jiǎn)介：辛春元（1975-），女，遼寧大連人，副教授，從事應(yīng)用數(shù)學(xué)研究。