由簡單的幾何圖形變換得到的啟示

摘 要：數學廣泛存在于生活中，善于開發和利用學生身邊的數學資源與素材進行加工和創造，有利于提高學生的知識視野。關注數學活動的教學，更能激發學生學習數學的興趣，注重數學模型的作用，有助于學生創造能力的培養。

關鍵詞：三角板；旋轉的不變性；創造能力；邏輯思維能力

隨著課改的進行及《義務教育數學課程標準》的實施，處處體現生活中存在數學。怎樣去發現數學，其實數學就在身邊，留心觀察，細心思考，你會體會到數學的奇妙與快樂。下面就簡單的一副三角板的開發和利用，談點自己的看法與啟示。

首先進入我們視野的是等腰直角三角形，這是一個德才兼備的幾何圖形，它既具有等腰三角形的性質又具有直角三角形的性質。研究起來會妙筆生花，細心的品讀它帶給我們的快樂。取一對全等的含45度角的三角板進行簡單的探究活動，將△MNK的直角頂點M放在△ABC的斜邊中點上。設AC=BC=4，

（1）如圖1，兩三角板重疊部分為△ACM，則重疊部分的面積是多少？周長為多少？

顯而易見：△ACM的面積等于△ABC的一半周長等于AB+AC，而AB的長由勾股定理求得。

（2）將圖1中的三角板MNK繞頂點M逆時針旋轉45度角，得到圖2，則重疊部分的面積會發生變化嗎？周長為多少？類比圖1很快就會發現沒有變化周長為8。

（3）將△MNK繞點M旋轉到不同于圖1和圖2的位置，你猜想此時重疊部分面積會發生變化嗎？如果不發生變化，請說出理由。于是學生投入到激烈討論中，這種跳躍性思維躍然于紙上。啟發在已有的研究成果基礎上去構造，既然△MNK是旋轉變化的，能不能轉換為圖1于圖2的圖形。觀察與研究發現面積不變，那又怎樣證明。連接CM會發現△CMG會和△APM全等，可以看成△CMG繞點M旋轉90度角得到的，此時圖形旋轉起到了一個驚人的變化。由特殊到一般揭示了圖形變換的本質，一石激起千層浪，讓學生自己拼圖利用三角板反復進行仔細觀察會發現什么？小組討論、研究。追問：在圖3中，AP=1的情況下，怎樣求重疊部分的周長？生1：壞了，這下掉進老師設的陷阱里了，出不來了。此時，我靜靜地等待學生研究成果。生2：AP=1，CP=3，由三角形全等知：CG=AP=1，可PM=MG=？此時，陷入僵局，大部分同學投入積極的思考中，既然是旋轉大家能不能轉化為圖1，圖2呢？從中得到哪些啟示。圖3能轉化為圖2嗎？聯想與旋轉變化交替進行，是數學思維活動進入了又一個高峰。積極的思考和點撥，讓學生在思維的碰撞中產生火花。生3：老師我知道了。生4：我也知道了。我抓住有利時機，問什么在這里起到了重要的作用，勾股定理即可求DM的長。從中看到了旋轉的作用，全等變換其形變本質不變，找到恰當的解題方法，達到融會貫通的目的。

思維的發散與變式正是研究問題的恰好時機，此時展示2013年河南省中考試題，實現思維的正向遷移。

將兩塊全等的含30度的三角板如圖4放在一起，△ABC與△DEC重合放置，∠C=90度，∠B=∠E=30度。（1）操作發現：固定△ABC繞點C旋轉，點D恰好落在AB邊上時，如圖5，填空：①線段DE與AC位置關系_______。②設△BCD的面積與△AEC的面積的數量關系是 。③猜想論證：當△DEC繞點C旋轉到圖6的位置時，小馬猜想②中的結論仍然成立，并嘗試分別做△BDC和△AEC的BC與CE邊上的高，請你證明小馬的猜想。

有了前一個習題的鋪墊，①②兩問學生會順利地得到解答。③的解答細細的思考會發現，既然是旋轉，抓住旋轉的不變性及旋轉前后的圖形全等的特征，可證△ACN≌△DCM即可。

當替換條件時，∠BAC=36度，△ABC為等腰三角形，上述條件不改變，就變為一般情況，這樣從一般到特殊的思維方法。拓展學生的知識視野，舉一反三，融會貫通使知識達到成片開發，提高學生的想象能力及邏輯思維能力，達到訓練目的。

啟示：在這節習題課中，旋轉的特殊性質，抓住旋轉的不變性，利用全等條件，仔細觀察圖形的變化，啟發學生思維開發和利用旋轉的內在聯系，一題多用，變換條件。螺旋上升，使學生的視野開闊，提升解答問題的能力。教學中只要留心觀察，認真研究習題的變化和解題規律就會有所收獲。充分利用學生手中的三角板進行演示，拼接通過全方位觀察思考，運用工具進行知識重組和解答，無疑對培養學生思維的靈活性和獨創性有著十分重要的意義。事實上，充滿思考性的練習題即使學生沒能完全正確解答出來，也能有效地訓練學生的創新思維。這不僅有利于提高學生思考、分析的積極性，也有利于開發學生的創造潛能。創造性思維不僅要求思維的數量，還要求思維的深度和靈活性，即思維的變通性。創造性教學則是培養創造性思維和創新能力的基礎。所以教師在教學過程中要從多角度訓練學生的思維品質，使學生能獨立地、自覺地運用所給問題的條件，并做出新的變換和組合，培養學生靈活應變能力。所以在教學中要關注學生的數學活動，培養動手操作能力，及時轉換為數學模型，挖掘數學習題的內在潛質，去發現共性進而研究這類習題的解題規律。

以上三例的演示與啟發使我認識到：教師一定要充分收集利用已有的數學資源，進行加工與創造培養學生的探究精神。去追求數學知識的內在聯系，加強創新思維訓練與培養，有待于我們去研究和利用。

（作者單位 永吉縣第七中學）

編輯 魯翠紅