二進制數(shù)在經(jīng)典數(shù)學題中的應(yīng)用

摘要：電子計算機的廣泛應(yīng)用主要得益于二進制數(shù)的發(fā)展，二進制數(shù)除了應(yīng)用在電子計算機中，在生活的其他領(lǐng)域也發(fā)揮著重要的作用。本文筆者首先對二進制數(shù)的概念及其運算規(guī)則進行了概述，然后詳細分析了二進制數(shù)在經(jīng)典數(shù)學題中的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：二進制數(shù)；數(shù)學題；應(yīng)用

當代電子計算機的核心之一就是使用二進制數(shù)。早在1673年，27歲的德國數(shù)學家布萊尼茲在研究計算機模型時就認識到了二進制數(shù)的重要性，并系統(tǒng)地提出了二進制數(shù)的運算法則。二進制數(shù)不僅在電子計算機中得到了廣泛的應(yīng)用，而且在實際生活中也得到了廣泛的應(yīng)用，尤其是在解決一些比較復(fù)雜的數(shù)學題時，更是發(fā)揮了重要的作用。本文筆者簡要介紹了一下二進制數(shù)的概念以及應(yīng)用原則，并以兩個經(jīng)典數(shù)學題為例分析了二進制數(shù)在經(jīng)典數(shù)學題中的應(yīng)用。

一、二進制數(shù)的概念

下面我們以十進制數(shù)為例，來認識一下二進制數(shù)。十進制數(shù)是以十為基底的進位計數(shù)制，十進制數(shù)是使用0、1、2、3、4、5、6、7、8、9十個有序的數(shù)字符號及一個小數(shù)點符號來表示的，而且是“逢十進一”，即各相鄰位的“權(quán)”（所謂權(quán)，指的是在進位數(shù)制中，為了確定一個數(shù)位的實際數(shù)值必須乘上的因子）之比都固定為“10”。以此為基礎(chǔ)再來看二進制數(shù)，從進位計數(shù)制的理論觀點來看，在所有可能的基底中，二進制數(shù)最小的基底是2。在二進制數(shù)中，只有數(shù)字符號0和1及一個小數(shù)點符號，并且是“逢二進一”，各相鄰位的“權(quán)”之比為“2”。無論是剛才介紹的十進制數(shù)還是二進制數(shù)，都屬于進位計數(shù)制，它們各相鄰位的“權(quán)”之比都是固定的。

二、二進制數(shù)的運算規(guī)則

二進制數(shù)的運算不僅包括算術(shù)運算，而且還包括邏輯運算。在算術(shù)運算上，二進制數(shù)與十進制數(shù)一樣，同樣可以進行加、減、乘、除四則運算。二進制數(shù)的邏輯運算則是指對因果關(guān)系進行分析的一種運算。邏輯運算的結(jié)果并不表示數(shù)值大小，而是表示一種邏輯概念。常見的二進制數(shù)的邏輯運算有“與”“或”“非”和“異或”4種。

1.二進制數(shù)的四則運算法則

加法：0+0=0，0+1=1，1+0=1，1+1=0（向高位進位）；

減法：0-0=0，0-1=1（向高位借位），1-0=1，1-1=0；

乘法：0×0=0，0×1=0，1×0=0，1×1=1；

除法：0÷1=0，1÷1=0。

2.二進制數(shù)的邏輯運算規(guī)則

若干位二進制數(shù)組成邏輯數(shù)據(jù)，位與位之間無“權(quán)”的內(nèi)在聯(lián)系。對兩個邏輯數(shù)據(jù)進行運算時，每位之間相互獨立，運算是按位進行的，不存在算術(shù)運算中的進位和借位，運算結(jié)果仍是邏輯數(shù)據(jù)。

與：用符號“∧”來表示 0∧0=0，0∧1=0，1∧0=0，1∧1=1；

或：用符號“∨”來表示 0∨0=0，0∨1=1，1∨0=1，1∨1=1；

非：常在邏輯變量上面加一橫線表示=1，=0；

異或：用符號“”來表示 00=0，01=1，10=1，11=0。

三、二進制數(shù)在經(jīng)典數(shù)學題中的應(yīng)用

1.經(jīng)典例題一

二進制數(shù)在位數(shù)相同的時候沒有十進制數(shù)所表示的數(shù)值大，有時為了表示一個很小的數(shù)卻需要用很長的一行表達式。如79，用二進制數(shù)表示則為1001111。但是在解決一些數(shù)學問題的時候，有時候采用二進制數(shù)反而會比較簡潔明了，便于計算。在學習數(shù)學的時候我們都會接觸到“放麥粒”這一經(jīng)典例題，在解決這一問題的時候就比較適合用二進制數(shù)。下面就來具體分析一下二進制數(shù)在這道經(jīng)典數(shù)學題中的應(yīng)用。

傳說國際象棋是舍罕王的宰相西薩·班·達依爾發(fā)明的，他把這個有趣的娛樂品進貢給國王。舍罕王對于這一奇妙的發(fā)明異常喜愛，決定讓宰相自己要求得到什么賞賜。西薩并沒有要求任何金銀財寶，他只是指著面前8×8的棋盤奏道：“陛下，就請您賞給我一些麥子吧，在第一格棋盤上放1粒，第二格上放2粒，第三格上放4粒，第四格上放8粒……照這樣放下去，只要把棋盤上64格的麥粒都賞給你的仆人，他就心滿意足了”，舍罕王聽了，心中暗暗欣喜：“這個傻瓜的胃口實在不算大啊，這能要多少麥子呢？最多幾百斤吧。小意思。”他立即慷慨地應(yīng)允道：”愛卿，你當然會如愿以償?shù)模　钡斢淃湽ぷ鏖_始后不久，舍罕王便暗暗叫苦了，因為盡管第一袋麥子放滿了將近二十個格子，可是接下去的麥粒數(shù)增長的竟是那樣的快，國王很快意識到，即使把自己王國內(nèi)的全部糧食都拿來，也兌現(xiàn)不了他許給宰相的諾言了。那么，舍罕王究竟該給西薩多少麥粒呢？舍罕王所承諾給的西薩的麥如果用二進制數(shù)來表示就是64個1，用冪來表示為：1+2+22+23+……+263，也就是1+1+2+22+23+……+263 -1=2+2+22+23+……+263-1=22+22+23+……+263-1=……=264-1，即舍罕王所欠的麥子的粒數(shù)為264-1。264-1，就是采用的二進制計數(shù)法，這樣計算起來比較方便，看上去也較為簡潔，如果換算成十進制數(shù)則是18446744073709551615，這樣計算起來會相當?shù)穆闊瓷先ヒ草^為繁瑣。所以，教師在講解這道經(jīng)典的數(shù)學題的時候一般都是采用二進制數(shù)的，這樣會簡化整個的計算過程。

2.經(jīng)典例題二

小學的數(shù)學題中常有類似這樣的題：有5瓶藥，每瓶中有20粒藥丸，每粒藥丸重10克，其中有1瓶受潮了，受潮的每個藥丸重11克。給你一個天平，你怎樣一次就能測出哪幾瓶是受潮的藥呢？這樣的題，很容易思考。首先，將5瓶藥編號為1-5號，從中分別取出1、2、3、4、5粒藥丸，這樣進行稱重。如果全是沒有受潮的話，應(yīng)是（1+2+3+4+5）×10=150（克）。如果稱出的重量是152克，那么超出的重量是2克，說明有2÷（11-10）=2（粒）超重，因此超重的藥是第2瓶。如果稱出的重量是155克，那么超出的重量是5克，說明有5÷（11-10）=5（粒）超重，因此超重的藥是第5瓶。

那么，如果我們把已知有1瓶藥受潮改為有幾瓶藥受潮，問題是不是就變得復(fù)雜了呢？即題目改為：有5瓶藥，每瓶中有20粒藥丸，每粒藥丸重10克，其中有幾瓶受潮了，受潮的每個藥丸重11克。給你一個天平，你怎樣一次就能測出哪幾瓶是受潮的藥呢？這樣的話直接使用上述的方法是行不通的，比如稱出的重量是155克，那么超出的重量是5克，說明有5÷（11-10）=5（粒）超重，那么超重的藥可能是第1瓶和第4瓶的，也可能是第2瓶和第3瓶的，也可能是第5瓶的。所以要換一種思路來思考這個問題。稱重量的想法是沒有錯的，那么可以進行改進的就是選取藥丸的數(shù)量。如果已經(jīng)學習過二進制數(shù)，則可以輕松地想到，首先，將5瓶藥編號為1-5號，從中分別取出1、2、4、8、16粒藥丸，這樣進行稱重。如果全是沒有受潮的話，應(yīng)是（1+2+4+8+16）×10=310（克）。假如稱出的重量是312克，那么超出的重量是2克，說明有2÷（11-10）=2（粒）超重，2=（00010）2，因此超重的藥是第2瓶的。如果稱出的重量是315克，那么超出的重量是5克，說明有5÷（11-10）=5（粒）超重，5=（00101）2，因此超重的藥是第1瓶和第3瓶。如果稱出的重量是339克，那么超出的重量是29克，說明有29÷（11-10）=29（粒）超重，29=（11101）2因此超重的藥是第1瓶、第3瓶、第4瓶和第5瓶。這樣采用二進制數(shù)來解決這個問題就變得容易得多了，我們就能很快地找出問題答案。

四、結(jié)語

二進制數(shù)雖不是解決所有問題的萬能鑰匙，但是卻能提供解決問題的引路石，有了二進制數(shù)的幫助，有些數(shù)學問題解決起來會比較簡便和容易了。總而言之，二進制數(shù)在數(shù)學題中有著廣泛的應(yīng)用，他有效解決了一些數(shù)學疑難問題，并得到了廣大教師和學生的認可。

參考文獻：

1.智文靜.淺談二進制的應(yīng)用[J].科技信息，2009（28）.

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