淺談大學數學思想方法及創新思維的培養

摘 要：論述在大學數學課堂教學中傳授數學思想方法的必要性與重要性，重點介紹大學數學教學中總結出來的一些數學思想方法，闡述大學課堂教學中如何培養學生的創新思維。

關鍵詞：數學思想方法；創新思維；教學

中圖分類號：F240 文獻標志碼：A 文章編號：1673-291X（2013）36-0071-02

進入21世紀，數學已成為當代高新技術的一個重要組成部分和思想庫。數學是一種關鍵的、普通的、可以應用的技術，而大學數學思想方法及創新思維的培養不僅可以訓練學生思維能力，提高學生應用數學知識并把知識轉化為能力的意識，而且可以促進數學知識與實際的聯系，從而培養學生勇于解決實際問題的信心和興趣。

一、對數學思想方法的認識

數學思想是對數學知識、方法、規律的一種本質認識；數學方法是解決數學問題的策略和程序，是數學思想的具體反映；數學知識是數學思想方法的載體，數學思想較之于數學基礎知識及常用數學方法又處于更高層次，它來源于數學基礎知識及常用的數學方法，在運用數學基礎知識及方法處理數學問題時，具有指導性的地位。對于學習者來說，運用數學方法解決問題的過程就是感性認識不斷積累的過程，當這種積累達到一定程度就會產生飛躍，從而上升為數學思想，一旦數學思想形成之后，便對數學方法起著指導作用。因此，人們通常將數學思想與方法看成一個整體概念——數學思想方法。

數學中常用的數學思想方法，概括起來可以分為兩類。一類是科學思想在數學中的應用，如分析與綜合、分類討論、類比、化歸、歸納與演繹思想等；另一類是數學學科特有的思想方法，如集合與對應、數學建模、數形結合、函數與方程、極限、概率統計的思想方法等。

二、教學中主要的數學思想方法的培養

數學思想方法的學習和領悟能幫助學生構建知識體系，使學生所學的知識不再是零散的知識點，能提高學生數學思維能力，提高學習效果。因此，在教學過程中必須重視數學思想方法的教學。數學思想方法以數學知識為載體，蘊涵于知識之中，是數學的精髓，它支撐和統率著數學知識。教師在講授概念、性質、定理的過程中應不斷滲透與之相關的數學思想方法，讓學生在掌握知識的同時，又能領悟到數學思想，從而提升學生思維能力。在教學過程中，要引導學生主動參與結論的探索、發現及推導過程，搞清知識點間的聯系及其因果關系，讓學生親身體驗蘊含在知識中的數學思想和方法。

1.分類與整合的思想。分類是通過比較數學對象本質屬性的相同點和差異然后根據某一種屬性將數學對象區分為不同種類的思想方法。分類討論既是是一個重要的數學方法，又一個重要的數學思想，在解題時，它能避免思維的片面性，保證不遺不漏。整合就是考慮數學問題時把注意力和重點放在問題的整體結構上，通過對其全面深刻的觀察和分析，從整體上認識問題的實質，把中間相互緊密聯系著的量作為整體來處理的思想方法。

2.用函數與方程思想研究問題的方法。所謂用函數思想研究問題的方法，是指在研究數值問題時，引進函數，將要研究的數值看為此函數在某點的函數值，通過函數的一系列性質得到函數的關系式，再取自變量的特定值，從而達到研究數值問題目的的一種研究方法.這種方法有非常廣泛的應用，尤其廣泛應用于證明不等式，下面看一例題。

例1 設b>a>e，證明ab>ba。證明：先證ax>xa，x>a。由于ax>xa等價于xlna>alnx。令f（x）=xlna-alnx，x≥a。由于在x>a>e時，f′（x）=lna->0，故f（x）在[a，+∞）上嚴格單增，故f（x）>f（a）=0，即ax>xa。再令x=b，則ab>ba。

3.數形結合的思想數學。研究的對象是數量關系和空間形式，即“數”與“形”兩個方面?！皵怠迸c“形”之間不是孤立存在的，而是有著密切的聯系。數量關系的研究可以轉化為圖形性質的研究，反之，圖形性質的研究可以轉化為數量關系的研究，這種解決數學問題過程中“數”與“形”相互轉化的思維策略，即是數形結合的思想。數形結合的思想，既是一個重要的數學思想，也是一種常用的數學方法，為解決問題提供了方便，是解決問題的一個捷徑。數形結合思想一方面，能使數量關系的抽象概念和解析式通過圖形變得直觀形象；另一方面，能使一些圖形的屬性通過對數量關系的研究，更精準、更深刻地得出圖形的性質。這種“數”與“形”的相互轉換，相互滲透，不僅可以使一些題目的解決簡捷明快，同時還可大大拓寬我們的解題思路。華羅庚先生曾作過精辟的論述：“數與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛。數缺形時少直覺，形少數時難入微，數形結合百般好，隔裂分家萬事非。切莫忘，幾何代數統一體，永遠聯系切莫離”。它的運用，往往展現出“柳暗花明又一村”般的數形和諧完美結合的境地。

數形結合在數學解題時應用也比較廣泛。例如，不連續函數討論增減性問題，函數求最值問題；根的分布問題及數形結合在不等式中、在數列中、在解析幾何中的應用等。這些都是數形結合的思想方法的體現。

4.化歸方法的數學教育思想。數學中充滿矛盾，對立面無不在一定條件下互相轉化。已知與未知，異與同，多與少，一般與特殊等等在一定條件下都可以互相轉化。轉化的方向一般是把未知的問題向已知方向轉化，把難的問題朝較易的方向轉化，把繁雜的問題朝簡單的方向轉化，把生疏的問題朝熟悉的方向轉化。

化歸，即轉化與歸結，把有待解決的或未解決的問題，通過轉化過程，歸結為已熟悉的規范性問題或已解決過的問題，從而求得問題的解決?；瘹w是研究數學問題的一種基本思想方法。而實現這種化歸，就是將問題不斷地變換形式，通過不同的途徑實現化歸。具體的化歸方法有多種，如恒等變換、解析法、復數法、三角法、變量替換、數形結合、幾何變換等?；瘹w方法的數學教育思想體現在問題解決的思維過程中。

例如，《數學的發現》中記載：一個農夫有若干只雞和兔子，它們共有50個頭和140只腳，問雞、兔各有多少只？匈牙利大數學教育家波利亞想象出這樣一幅美妙奇特的景象：牧場上，雞和兔子全部亮相，兔子要站在地上（舉起前腿），這時雞和兔子都只有了兩只腳。問題解決了，因為在這種情況下：

（1）腳底總數減少了一半，即只剩下70 只腳（變更問題的已知條件）。

（2）雞頭的數與腳的數量相等，而如果有一只兔子，腳的總數就要比頭的總數大1，因此腳的總數70與頭數50的差就是兔子的數目，即有70- 50 =20只兔子，進而雞的數目就是50- 20= 30。這種形象思維的數學教育思想何等鮮明！

三、創新思維的培養

首先，打破大學數學教師“注入式”教學觀念，營造一種互動的、無權威性的教學環境。創造性思維教學的先決條件應該是師生的相互尊重和對待知識的平等接納。教師應盡力營造適宜的數學情境，引出數學問題，以啟發引導的方式傳授數學的思想和方法。掌握數學的定義、定理和相關的推論。調動學生的主觀能動性，讓學生自主地運用數學的思想與方法，從不同角度進行比較和思考，發現相互之間的聯系和區別，從而作出總結。

其次，注意主輔教材有機結合。教材選擇上教師應認真把握，以新教材為主導，其他教材為輔，針對學生的實際情況，結合相關專業對數學的特殊要求，進行必要的內容調整。

再次，大學數學的教學必須強調學生的課堂練習，學生在教師指導下，在課堂上獨立完成指定的練習，是解讀信息、掌握概念、定理、法則及演算基本功的重要環節，一般情況下，在講授某個求解或運算法則后，都應該讓學生及時在課堂上做相應的基本練習，初步體會該法則的用法。教師還要挑選一些具有代表性并且難易適中能鍛煉學生數學思維能力的題目給學生做練習。

最后，培養大學生學習數學的興趣，通常說“興趣是學習的第一動力”，也就是說興趣對學習的成效是非常重要。教師在課堂教學中，可以介紹數學名人和數學家的故事體現出對數學的感情，充分表現對數學的認識和追求，以此感染學生、啟發學生、提高學生對數學學習的內在動力。

四、數學思想方法對實施創新思維培養的意義重大

加強數學思想和數學方法的教學是為培養學生能力打基礎，因為人們在教學活動中總要面對各種問題，并要尋求解決的手段和途徑，我們教育學生也正是讓學生有此能力。其次，加強數學思想和數學方法的教學是為了達到真正意義上的面向全體學生，防止學生分化和厭學，使學生真正得到全面發展。古人說得好，授之以魚，只供一飯之需，授之以漁，則受用終身。第三，加強數學思想和數學方法教學，能激發學生學習興趣，提高學生積極性，符合素質教育的要求，同時，也符合學生的認知規律，對學生的能力提高有重要的作用。第四，加強數學思想數學方法的教學，能克服教師與學生就題論題和死套模式的老路，使學生達到舉一反三的目的，有利于發展學生的思維，促使學生思維的健康發展。

在大學數學中還有很多數學思想與方法都值得研究，如倒推法、歸納法、常數變易法等等。在大學數學課堂教學中，我們應該在傳授知識的同時，重點講清各種數學思想與數學方法，培養學生創造性思維，達到培養創新人才的目的。

參考文獻：

[1] 朱士信.如何在大學數學課堂教學中培養學生創新思維[J].大學數學，2003，（3）：30-33.

[2] 喬治.波利亞.數學的發現——對解題的理解、研究和講授[M].北京：科學出版社，2006：25-27.

[3] 鄭正亞，石循忠.數學素質教育是提高學生考試水平的關鍵[J].數學教育報，2001，（2）：65-67.

[4] 張順燕.數學的思想、方法和應用[M].北京：北京大學出版社，2009.

[責任編輯 陳丹丹]