微積分知識在生活中的應(yīng)用

摘 要：圍繞中值定理、函數(shù)的連續(xù)性、微分概念、重要極限、夾逼準則、彈性、拐點、極值等有關(guān)知識，探討微積分知識在實際生活中的廣泛應(yīng)用，進一步揭示微積分與實際生活的密切聯(lián)系，為應(yīng)用微積分知識解決實際問題，建立數(shù)學(xué)模型，奠定了一定的理論基礎(chǔ)。

關(guān)鍵詞：微積分；生活；應(yīng)用

中圖分類號：C93 文獻標志碼：A 文章編號：1673-291X（2013）30-0235-02

一、中值定理在生活中的應(yīng)用

[問題] 如果你駕車在一條限速為100公里/小時的公路上行駛，監(jiān)控儀證明你在半個小時內(nèi)跑了60公里，那么警察會給你開一張超速罰單嗎？

[預(yù)備知識] 拉格朗日中值定理：在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)；在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)。 結(jié)論：在（a，b）內(nèi)至少存在一點ξ（a<ξ

[應(yīng)用] 拉格朗日中值公式反映了可導(dǎo)函數(shù)在[a，b]上整體平均變化率與在（a，b）內(nèi)某點ξ處函數(shù)的局部變化率的關(guān)系。若從力學(xué)角度看，公式表示整體上的平均速度等于某一內(nèi)點處的瞬時速度。 因此，拉格朗日中值定理是聯(lián)結(jié)局部與整體的紐帶。

因為平均速度v===120（公里/小時），而根據(jù)中值定理平均速度等于某一內(nèi)點處的瞬時速度，所以你在半個小時內(nèi)的某一時刻一定是達到了120公里/小時> 100公里/小時，也就是超速了。

二、函數(shù)連續(xù)性在生活中的應(yīng)用

[問題] 人的相貌在一分鐘內(nèi)看不出有什么區(qū)別，但從孩童到老年相貌卻差異很大，怎么解釋這一現(xiàn)象呢？

[預(yù)備知識] 設(shè)函數(shù)f（x）在Uδ（x0）內(nèi)有定義，如果當自變量的增量Δx趨向于零時，對應(yīng)于函數(shù)的增量Δy也趨向于零，即Δy=0。

[應(yīng)用] 人的生長是連續(xù)的，在一分鐘內(nèi)也就是自變量的改變很小時，人的相貌也就是函數(shù)的改變量也會很小。

客觀世界的許多現(xiàn)象和事物不僅是運動變化的，而且其運動變化的過程往往是連綿不斷的，比如日月行空、歲月流逝、植物生長、物種變化等，這些連綿不斷發(fā)展變化的事物在量的方面的反映就是函數(shù)的連續(xù)性。

三、微分概念在生活中的應(yīng)用

[問題] 地球形狀明明是圓的，為什么古時候的人們以為地球是方的？

[預(yù)備知識] 如果函數(shù)z=f（x，y）在點（x，y）的全增量Δz=

f（x+Δx，y+Δy）-f（x，y）可以表示為Δz=AΔx+BΔy+o（ρ），其中A，B不依賴于Δx，Δy而僅與x，y有關(guān)，則稱函數(shù)z=f（x，y）在點（x，y）可微分，AΔx+BΔy稱為函數(shù)z=f（x，y）在點（x，y）的全微分，記為dz，dz=AΔx+BΔy。

[應(yīng)用]根據(jù)全微分定義，有Δz≈dz即Δz≈fx（x，y）Δx+

fy（x，y）Δy，即全微分的幾何意義是：微分是實現(xiàn)增量線性化的一種數(shù)學(xué)模型，即微分函數(shù)的實質(zhì)：局部像個平面。當可微函數(shù)的自變量改變很小時，函數(shù)增量可以近似看作一個二維線性函數(shù)——平面。所以古時候在人的肉眼范圍內(nèi)（自變量改變很小），人們認為函數(shù)的增量——地球表面是平的。

四、重要極限在生活中的應(yīng)用

[問題] 要洗一件衣服，先用水和洗滌劑把衣服洗滌，擰一下，然后再把衣服漂清。由于不能擰得干干凈凈，衣服上仍帶有含污物的的水。設(shè)衣服上殘存的污物量為 m0（包括洗滌劑），殘存水量為w，我們還有一桶清水，水量為A。問怎樣合理地使用這一桶清水，盡可能地把衣服洗干凈？還有衣服能徹底洗干凈嗎？

[預(yù)備知識] 重要極限：1+x=e

[應(yīng)用] 假設(shè)把一桶水分成n次使用，每次用量分別為a1，a2，…an，用mi（i=0，1，2，…n）表示第i次洗滌后衣服上殘留的污物量。那么=，則n次洗滌后衣服上殘存的污物量為mn=，由于mn≤{[（1+）+（1+）+…+（1+）]}n=（1+）n，因此把水量等分，可以使污物的殘余量最少，而且分的次數(shù)越多，洗的越干凈。但殘留物不會完全沒有，因為利用重要極限（1+）n=e，即n趨于無窮大時，污物量趨于e。

五、極限夾逼準則在生活中的應(yīng)用

[問題] 同學(xué)們在上完最后一節(jié)課后，肚子餓得直響，迫不及待地沖出教室飛奔食堂，以為可以搶先打到飯，沒想到已排上了長隊，自己也就只好排在后面，但后來的同學(xué)越來越多，為什么不用思考還有多遠輪到自己打飯，就被前后的同學(xué)“挾持”到了師傅跟前。

[預(yù)備知識]

（夾逼準則）：如果數(shù)列xn，yn及zn滿足下列條件：（1）yn≤xn≤zn（n=1，2，3…）；（2）yn=a，zn=a那末數(shù)列xn的極限存在， 且xn=a。

[應(yīng)用] 先在黑板上畫兩條與軸線垂直的直線，代表兩個垂直于黑板平面的平面，從左到右分別記yn，zn，假設(shè)有一點a固定，yn，zn都向a無限接近，那么在yn，zn之間任意位置放入一平面xn，它都會被迫向a趨近，這就是形象的夾逼定理。其中xn就是某同學(xué)自己，排在其前后的同學(xué)就是yn和zn，打飯的師傅就是確定的a。

六、彈性在生活中的應(yīng)用

[問題] 商場定期推出打折讓利活動，那么最終獲利的是誰呢？高檔奢侈品價格越來越高，商家是怎么想的呢？

[預(yù)備知識]設(shè)函數(shù)y=f（x）可導(dǎo)，函數(shù)的相對改變量=與自變量的相對改變量之比，稱為函數(shù)f（x）在x與x+Δx兩點間的彈性（或相對變化率）。而極限稱為函數(shù)f（x）在點x處的彈性（或相對變化率），記為f（x）。

[應(yīng)用] 函數(shù)f（x）在點x的彈性反映隨x的變化f（x）變化幅度的大小，即f（x）對x變化反應(yīng)的強烈程度或靈敏度。商場里的大眾商品富于彈性，降價能極大地促進銷售量，進而總利潤增加；而奢侈品缺乏彈性，提高價錢對銷售量影響不大，故商家不肯輕易降價。

七、拐點在生活中的應(yīng)用

[問題] 人們投資股票市場的目標無疑是低買高賣，但是，這種對股票時機的把握是難以捉摸的，因為我們不可能準確預(yù)測股市的趨勢。當投資者剛意識到股市確實在上漲（或下跌）時，局部最低點（或局部最高點）早已過去了。那么怎么把握這種趨勢呢？

[預(yù)備知識] 連續(xù)曲線上凹弧與凸弧的分界點稱為曲線的拐點。

[應(yīng)用] 拐點為投資者提供了在逆轉(zhuǎn)趨勢發(fā)生之前預(yù)測它的方法，因為拐點標志著函數(shù)增長率的根本改變。以拐點或其附近處的價格購進股票能使投資者呆在較長期的上揚趨勢中，降低了因股市的浮動給投資者帶來的風(fēng)險。

參考文獻：

[1] 吳贛昌.概率論與數(shù)理統(tǒng)計[M].北京：中國人民大學(xué)出版社，2011.

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