對(duì)應(yīng)思想在解決問題中的應(yīng)用

對(duì)應(yīng)思想是在兩個(gè)事物之間建立起來的一種關(guān)系（或者說某種規(guī)律），即對(duì)應(yīng)關(guān)系，從而揭示事物之間的聯(lián)系. 許多具體的數(shù)學(xué)思想來源于對(duì)應(yīng)思想，如：數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)思想、變換思想等. 小學(xué)數(shù)學(xué)一般是一一對(duì)應(yīng)的直觀圖表，并以此蘊(yùn)含函數(shù)思想. 對(duì)應(yīng)思想是解決數(shù)學(xué)問題的一種基本思路，它通過兩種事物的合集最終建立起某種聯(lián)系的思維方法，通過這些思維方法搭建了解題的思維橋梁. 所以人們經(jīng)常用對(duì)應(yīng)思想來分析、解決一些實(shí)際問題. 教學(xué)中不僅要求我們能通過思考與探索發(fā)現(xiàn)這些事物間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，并且能運(yùn)用這些對(duì)應(yīng)關(guān)系解決基本的數(shù)學(xué)問題.

一、第一學(xué)段，感悟體會(huì)，做好預(yù)備與鋪墊

小學(xué)數(shù)學(xué)教材中主要利用虛線、實(shí)線、箭頭、計(jì)數(shù)器等圖形將元素與元素、實(shí)物與實(shí)物、數(shù)與算式、量與量聯(lián)系起來，滲透對(duì)應(yīng)思想. 在第一學(xué)段，教師要正確理解蘊(yùn)藏于教材中的“對(duì)應(yīng)思想”，為學(xué)生提供豐富的數(shù)學(xué)活動(dòng)，從簡單的“一一對(duì)應(yīng)”關(guān)系開始，讓對(duì)應(yīng)思想點(diǎn)點(diǎn)滴滴滲透到學(xué)生的學(xué)習(xí)中去，為逐步發(fā)展學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的能力做好預(yù)備與鋪墊.

如：人教版一年級(jí)上冊(cè)關(guān)于“多”“少”的教學(xué). 先讓學(xué)生觀察6～7頁主題圖（或多媒體課件），同桌互相說說圖意，然后教師問：“圖中有幾只小兔？”“每只小兔搬幾塊磚？”根據(jù)學(xué)生的回答，在主題圖下出示4只小兔. 逐一將4塊磚與小兔一一對(duì)應(yīng)，每對(duì)應(yīng)一塊磚都用小圓點(diǎn)把小兔和磚連起來，表示一只兔子搬一塊磚. 師：看，1只兔子搬1塊磚，正好都對(duì)上，沒有多余的，我們就說小兔的只數(shù)和磚的塊數(shù)同樣多（板書：同樣多）. 教材中用虛線上下連接來強(qiáng)化“對(duì)應(yīng)”， 這是教材對(duì)“一一對(duì)應(yīng)”思想的滲透. （如圖）

又如：一年級(jí)上冊(cè)P89例1：9+4. 如果僅僅只是為了計(jì)算，那么教學(xué)的設(shè)計(jì)是：引導(dǎo)學(xué)生先思考9湊成十還缺幾（缺1），然后把4拆成1+3，最后得出13. 從計(jì)算的角度看完成了本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)，但進(jìn)一步思考似乎還缺些什么，在這節(jié)課中，能否讓學(xué)生在積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的同時(shí)滲透對(duì)應(yīng)思想呢？是的，可以通過數(shù)軸，建立數(shù)與點(diǎn)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，要求學(xué)生由點(diǎn)找數(shù)，由數(shù)找點(diǎn)，然后運(yùn)算. 如下圖：

引導(dǎo)學(xué)生觀察思考：得數(shù)是13，我們是怎樣得到它的？（先在數(shù)軸上找到9，接著往后數(shù)4就得到了13）13離數(shù)軸上“0”點(diǎn)的距離有多遠(yuǎn)？它與“10”的關(guān)系是什么？從數(shù)軸上能十分清晰地看出. 這一環(huán)節(jié)的教學(xué)，教師將加法運(yùn)算直觀形象化，讓學(xué)生初步感知加法運(yùn)算的意義. “加法”就是在數(shù)軸上繼續(xù)向右“數(shù)”，或者是向右平移若干個(gè)單位.

二、第二學(xué)段，自覺應(yīng)用，解決問題

在第二學(xué)段的教學(xué)中，教師在滲透對(duì)應(yīng)思想的同時(shí)，還應(yīng)逐步培養(yǎng)學(xué)生對(duì)應(yīng)意識(shí)，使學(xué)生能用對(duì)應(yīng)思想方法解決實(shí)際問題，逐步學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思維，提高解決問題的能力.

1. 在數(shù)與代數(shù)中，應(yīng)用“對(duì)應(yīng)思想”發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題

當(dāng)遇到較為復(fù)雜的問題時(shí)，常常需要通過“對(duì)應(yīng)”的方法化繁為簡、化難為易；當(dāng)遇到較為隱蔽的問題時(shí)常常需要找出對(duì)應(yīng)關(guān)系，化隱蔽為明晰，變未知為已知，使問題得以解決. 如：“買3個(gè)籃球和4個(gè)排球需要480元，買3個(gè)籃球和6個(gè)排球需要600元，買一個(gè)籃球和一個(gè)排球需要多少元？”

由于條件較多，學(xué)生解答往往會(huì)覺得較困難，如果學(xué)生學(xué)會(huì)把條件和問題對(duì)應(yīng)摘錄在練習(xí)本上，或是把題目中的條件對(duì)應(yīng)地列成表格，如下：

學(xué)生對(duì)以上對(duì)應(yīng)的數(shù)量進(jìn)行分析，就會(huì)很快地看出2個(gè)排球是120元，這樣便輕而易舉地解決了問題.

又如：“植樹問題”（人教版小學(xué)數(shù)學(xué)四年級(jí)下冊(cè)）這節(jié)課的教學(xué)，許多教師都遇到這樣的困惑：總結(jié)出三種不同情況的規(guī)律后，在進(jìn)行綜合練習(xí)時(shí)，學(xué)生卻常常分不清是用“棵數(shù)加1”、還是“棵數(shù)減1”或者“不加不減”. 究其原因，主要是教師在教學(xué)過程中只注重引導(dǎo)學(xué)生通過操作探究得出結(jié)論，而沒有挖掘知識(shí)之間內(nèi)在的聯(lián)系，導(dǎo)致學(xué)生只是機(jī)械地記住結(jié)論，因此在進(jìn)行綜合練習(xí)時(shí)產(chǎn)生了困惑，造成了混淆. 如果能引導(dǎo)學(xué)生找到規(guī)律背后隱藏的數(shù)學(xué)思想——對(duì)應(yīng)思想，并用這種思想指導(dǎo)教學(xué)，會(huì)收到事半功倍的效果.

片段教學(xué)如下：

師：同樣求棵數(shù)，為什么有時(shí)要加1，有時(shí)要減1，有時(shí)卻不加不減？你們能結(jié)合圖說說看法嗎？（根據(jù)學(xué)生的回答，教師用箭號(hào)把一棵樹與一個(gè)間隔數(shù)一一對(duì)應(yīng)）

師：現(xiàn)在我們借助電腦來看一遍，在一條路上植樹，如果兩端都種，我們可以這么看，也就是一棵樹對(duì)應(yīng)一個(gè)間隔，到最后一棵樹的時(shí)候，會(huì)怎么樣？（少了個(gè)間隔和它對(duì)應(yīng)了）可見樹的棵數(shù)比間隔數(shù)多1.

師：我們反過來再看看，也是一棵樹對(duì)應(yīng)一個(gè)間隔，到（最后一棵樹的時(shí)候怎么樣？）

生：也少了個(gè)間隔和它對(duì)應(yīng)了.

師：所以在兩端都栽的情況下，棵樹比間隔數(shù)多1. 也就是，間隔數(shù) + 1 = 棵數(shù).

這一教學(xué)過程讓學(xué)生利用直觀畫解釋“棵數(shù)”與“間隔數(shù)”之間的關(guān)系，巧妙地滲透“一一對(duì)應(yīng)”的數(shù)學(xué)思想，溝通知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，使學(xué)生能夠理解知識(shí)之間內(nèi)在的聯(lián)系，并靈活地運(yùn)用植樹問題的數(shù)學(xué)模型解決生活中的植樹問題.

分?jǐn)?shù)應(yīng)用問題的教學(xué)，是小學(xué)階段解決問題中較為抽象的內(nèi)容，也是教學(xué)的難點(diǎn). 教學(xué)中若能把“數(shù)形結(jié)合”與“對(duì)應(yīng)思想”相結(jié)合，這一問題便迎刃而解. 讓學(xué)生通過線段圖，發(fā)現(xiàn)具體量與分率之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，并利用量與率的對(duì)應(yīng)關(guān)系來確定解題策略，尋找解題方法.

2. 在圖形與幾何中，利用對(duì)應(yīng)思想推導(dǎo)公式、建立數(shù)學(xué)模型、發(fā)展數(shù)學(xué)思考

在第二學(xué)段研究的平行四邊形、三角形、梯形、圓，這些平面圖形面積公式的推導(dǎo)均采用讓學(xué)生動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，先將圖形轉(zhuǎn)化為已經(jīng)學(xué)過的圖形，然后探索轉(zhuǎn)化后的圖形與原來圖形的聯(lián)系（即轉(zhuǎn)化后的圖形與原來圖形的對(duì)應(yīng)關(guān)系），發(fā)現(xiàn)新圖形的面積計(jì)算公式這樣一個(gè)過程. 如平行四邊形面積公式的推導(dǎo)過程：當(dāng)學(xué)生把平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形后，教師引導(dǎo)學(xué)生觀察轉(zhuǎn)化前后的兩種圖形，發(fā)現(xiàn)其中多處體現(xiàn)了對(duì)應(yīng)關(guān)系，“長方形面積”與“平行四邊形面積”相對(duì)應(yīng)， “長方形的長”與“平行四邊形的底”相對(duì)應(yīng)，“長方形的寬”與“平行四邊形的高”相對(duì)應(yīng). 在這些對(duì)應(yīng)關(guān)系的基礎(chǔ)上，平行四邊形的面積公式才順利推導(dǎo)而出. 其次，在利用公式計(jì)算面積或體積時(shí)也要強(qiáng)調(diào)對(duì)應(yīng). 如在“三角形的面積計(jì)算”教學(xué)中，先要求學(xué)生能熟練地尋找每條底邊，以及與這條底邊對(duì)應(yīng)的高. 當(dāng)學(xué)生學(xué)會(huì)三角形面積計(jì)算時(shí)，教師可以利用圖形的動(dòng)態(tài)變換，如三角形的面積中，同底等高的三角形有無數(shù)多個(gè). 這就使學(xué)生理解一個(gè)面積的數(shù)量，對(duì)應(yīng)了無數(shù)多個(gè)圖形.

又如（六年級(jí)上）學(xué)習(xí)用“數(shù)對(duì)”表示“位置”時(shí)，教師將座位平面圖抽象為比較形象的直角坐標(biāo)系，建立“數(shù)對(duì)”與平面上“點(diǎn)”之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系. 在這一過程中讓學(xué)生初步體驗(yàn)到，有了坐標(biāo)系后，整個(gè)平面就“結(jié)構(gòu)化”“模式化”了，可以用一對(duì)有順序的數(shù)來唯一確定平面上的一個(gè)點(diǎn). 利用對(duì)應(yīng)關(guān)系既滲透了數(shù)形結(jié)合思想又培養(yǎng)了空間觀念.

在教學(xué)中應(yīng)該注意，滲透數(shù)學(xué)思想與解決問題是分不開的，他們是統(tǒng)一的、融合的. 只有在教學(xué)過程中潛移默化、日積月累地滲透，才能收到較好的效果.