學生需要怎樣的建模過程

蘇教版五年級下冊“用數對確定位置”知識教學，其主要目的是進一步豐富學生對現實空間的認識，發展學生的符號意識和空間觀念. 一年級（上冊）學習了用“第幾”描述物體在某個方向上的位置，二年級（上冊）編排了用類似“第幾排第幾個”的方式描述物體在平面上的位置及在現實空間里的位置. 本課教學的主要任務是使學生在具體的情境中認識列、行的含義，知道確定第幾列、第幾行的規則，初步理解數對的含義，會用數對表示方格圖上的點的位置. 這是在已有的確定位置知識的基礎上的進一步抽象，學會用“第幾排第幾個”的方式來描述位置，進而會用抽象的數對來表示位置，發展空間觀念，提高抽象思維的能力. 這也是學生在第三學段學習平面直角坐標的重要基礎.

《義務教育數學課程標準（2011年版）》中明確指出：“在數學課程中，應當注意發展學生的數感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數據分析觀念、運算觀念、推理能力和模型思想. ”“要特別注重發展學生的應用意識和創新意識. ”基于這一理念要求，我就“用數對確定位置”的教學，與大家分享自己的思考與收獲.

一、在文化中建模——為什么需要模型

【片斷一】：

1. 在具體情境中確定位置

師：認識了“列”與“行”，現在可以怎樣描述王云同學的位置呢？

生：第4列，第3行. （師板書）

師：你能用同樣的方法，描述咱們未來的科學家毛小強的位置嗎？學生回答后，教師及時板書.

師：小小百靈鳥田倩在哪兒呢？

板書：第1列，第5行.

師：掌握了用數學的方法來描述位置關系，與以前用自己的方法來描述相比較，感覺怎樣？

生：用這種事先規定好的方式表示位置更方便.

師：確實如此，數學式的描述不僅方便而且準確.

2. 在抽象的圖畫中確定位置

師：睜大你們的眼睛，靳老師要變魔術了（由實物圖變成圓點圖）. 發生怎么樣的變化？用圓點來代替每名同學，你認為這樣有什么好處？

生：這樣比原來簡捷、清楚了.

師：你還能指出哪是第1列？哪是第1行嗎？（生指大屏幕. ）（電腦隨著學生指向相應的動態演示列與行，進一步感知豎排為列，橫排為行. ）

師：能在圓點圖上找出王云相應的位置嗎？怎樣找？咱們未來的科學家毛小強的位置在哪里？小小百靈鳥田倩的位置呢？

學生逐個指認.

3. 用數對確定位置

師：剛才我們用第幾列、第幾行的方法，統一了確定位置的方法. 老師現在想請同學們幫我記錄我們班參加數學興趣小組成員的位置，大家記一下，看誰能又對又快地幫老師記下來. （快速的報出10名學生. ）

交流展示學生的表示方法.

師：學生創造性地設計出了這么多的方法，真的很了不起！我們來觀察一下，這些同學創造的方法有什么共同的地方？你認為哪種方法最好？

生：每一個位置都需要2個數字來描述.

生：第一個數字都表示的是第幾列，第二個數字表示的是第幾行.

師：你們的這些想法跟數學上的規定已經很接近了. 例如，王云的位置：第4列第3行，數學上也是先寫一個4，表示第4列；再寫一個3，表示第3行，中間用逗號分開，因為它們是共同來表示一個位置的，還需要用一個“（ ）”括起來.

師：回過頭來看一看：從開始用自己的方法描述位置→用第幾列第幾行來描述位置→用數對確定位置，經歷了一個什么過程？板書：繁——簡

師：這是一種重要的數學方法，我們的數學學習常常要用到！

【思考】：數學教育活動作為一種文化，其價值指向于引導學生經歷數學的再創造過程. 在教學中，我引導學生從對班級中同一個學生的座位出現不同的描述方法開始，從而產生統一確定位置規則的需要——學習用 “第幾列第幾行”描述位置. 然后，去除其中的非本質屬性，把具體的人物、課桌抽象成一個個小圓點，讓學生用“第幾列第幾行”來描述圓點圖中某個圓點的位置. 當學生能正確用第幾列、第幾行描述平面圖上某個點的位置時，再讓學生親歷比賽記錄興趣組學生的位置的過程. 由于說得太快，記錄不下來，學生自然而然會對原有描述進行改進和優化，催生數對雛形的形成，再通過學生自主評價優化產生數對的表達形式，這一經歷和體驗數對產生的過程，使學生對數對的結構和特點的認識更加深刻. 最后，通過對課始用已有經驗描述位置→用第幾列、第幾行描述位置→用數對描述位置的對比，引導學生回顧本課所經歷的符號化過程，進而感受到符號化的價值.

二、在思索中建模——模型是什么

【片斷二】：

師：讓我們到云龍山公園去看一看（電腦呈現云龍山公園場景圖）

師：你能用數對表示部分景點的位置嗎？

生：不能，因為沒有標注行和列.

師：像這樣隨意擺放的物體，我們該怎樣來確定它的位置呢？

電腦呈現PPT畫面：300年前笛卡兒的故事.

師：現在你能用數對來描述這幾個景點的位置嗎？（電腦呈現云龍山的兩個景點姜公亭和幽遂軒）

根據學生的建議，在這個平面上加上一些網格.

師：現在能說出這兩個景點（幽遂軒、姜公亭）的位置嗎？

生：能，幽遂軒位置是（2，2），姜公亭位置是（3，6）.

生：不能. 因為圖中的列與行還不是很清楚.

師：是的，光有方格不行，重要的是還要確定行數、列數.

電腦動態呈現在原有方格圖的基礎上（左側和下方）添上方格，完善方格圖. 起點從0開始.

師：方格圖與實物圖和圓點圖不同，一般從0開始，“0”是列的開始，又是行的開始.

學生根據圖片內容說說景點的位置.

師：有一天小明到云龍山公園，先到幽遂軒玩了一會，接著又向東走了4格，到達招鶴亭，能找出他現在的位置嗎？

師：現在能記一下這三個景點的位置嗎？學生討論.

師：小明由招鶴亭玩了一會兒，又到了興化寺，觀察一下，出現了什么問題？能用數對表示景點興化寺的位置嗎？

生：興化寺出現在方格的外側，不太好找行和列.

師：還能用數對表示興化寺景點的位置嗎？有什么辦法可以確認一下這個數對呢？

生：我們可以在頭腦中表示出這個景點的行列關系，興化寺的位置是（7，2）.

師：很好，接下來，我們將添加上去的方格和行列信息去掉，誰來說說圖中景點的位置.

學生嘗試用數對表示景點位置.

【思考】：數學模型是為了解決問題的方便和快捷而直接應用的濃縮性工具，她是我們解決問題的技巧性策略和方法，當我們走進模型，完全理解了模型的價值和功用后，應該進一步引領學生走進“無技巧境界”，脫離模型的束縛，將思維的重心直接指向問題本身. 云龍山公園全景圖是學生熟知的景點，讓學生用數對描述云龍山各個散落的景點的位置，學生自然地想到必須加上方格圖，由此學生順其自然地把圖中的“橫軸上的數字”與上面的“第幾列”對應，把“縱軸上的數字”與“第幾行”對應，景點由一個個點表示，學生知道“一個景點”、“一個交點”、“一個數對”三者對應，是本節課學生思維的又一次升華. “怡然亭”和“興化寺”的位置會用數對表示嗎？學生發現這兩個景點在方格圖之外，還能用數對表示它們的位置嗎？學生根據已有的方格圖中的景點的數對，根據點與點之間的關系推理出“興化寺”的數對，進而培養學生的空間想象能力，這時學生的思維已不需要“第幾列”“第幾行”這座橋梁，對數對的理解已上升到一個純抽象化、數學化的層面，其認識已經超越模型的限制，達到了自由馳騁的高度——將模型形式內隱，將模型功能外化.

三、在現實中建模——模型有什么用

【片斷三】：

1. 應用數對解決生活問題.

師：我們已經學會了用數對表示平面圖上伙伴們的位置，你們能夠用數對表示自己的位置嗎？

學生用數對表示自己的位置，并寫在作業紙上，同桌之間互相檢查.

選擇數對（1，3）和（3，1）

師：觀察比較這兩個數對，你有什么發現嗎？

生：數對中，前面的數字表示第幾列，后面的數字表示第幾行. 用數對表示位置，誰在前，誰在后非常重要，不能顛倒.

師：咱們再一起來檢查一下.

① 師（手指第3列）：請這些同學起立依次報出表示自己位置的數對. 其他同學邊聽邊想：第一，他所報的數對準確嗎？第二，這組數對有什么特點？

師：怎么站起來一隊人呢？

② 師：我們在認識數對的基礎上，歸納出了數對中隱藏的規律. 這個數對（2，x）可能是誰呢？請站起來. （第2列的同學都起立了. ）

師：喲，為什么僅僅就一個數對，就有一撥人都起立了？

③ 師：老師再說一個：2. 怎么沒人站起來？一個數能不能確定一名同學的位置，需要幾個數？只知道列，或只知道行能不能確定具體的位置？

④ 師：誰能像老師這樣，出一個數對也讓一隊人站起來. 看誰反應快. 師生一起玩游戲.

2. 拓展數對知識.

師：我們認識了數對，會用數對確定位置. 其實，數對在現實生活中有非常大的實用價值.

師：這是我們人類生活的地球，地球表面這么大，怎樣來確定地球上的物體的位置呢？

動態呈現經線與緯線

北京在東經___________北緯___________

徐州在東經___________北緯___________

師：神州九號宇宙飛船成功著陸，依賴于衛星定位系統，因為任何一個地方都存在唯一的經度和緯度，經緯度可以確定任何一點的位置.

師：下圍棋也是用數對確定棋子的位置. 我們人類太聰明了，不僅能確定地球上任一點的位置，還能確定太空中的位置呢. 如果你想了解更多的這方面的知識，課后，可以上互聯網上搜索，更深入地探究這方面的有關知識.

“數學基于生活，并高于生活. ”為了發展學生的思考能力，提高他們對數學思想方法的運用水平，鞏固階段設計了生活應用問題，將數學模型與生活世界緊密聯系，展示了數學方法在生活中的價值和意義. 為什么要用兩個數來確定位置？借助于比較，學生意識到，只有在平面上才用兩個數組成的數對表示物體的位置，在直線上只需要一個數就可以了，一維、二維空間位置表示方法不同. 此時學生可能會聯想到一個數可以表示位置，兩個數也可以，那什么時候用三個數表示位置，讓學生帶著這種猜想開始新的探索歷程（三維空間的猜想）. 立體空間的引入最大限度地發散了學生思維.

整節課，在 “生活問題——數學問題——建立模型——拓展應用”的過程中構建“數對”知識， 在“具象——抽象——具象”的數學實踐中建立數學模型. 增進了學生對數學模型的理解和應用，形成應用數學的意識，體現了數學來源于生活，同時也要回到生活中去的樸素思想.