數學教學中如何培養學生解題后反思的習慣

在平時的教學過程中，教師經常有這樣的體會：同樣的題型講過很多遍，但學生遇到這類問題時還是出錯. 也經常聽到學生抱怨：“這類題目做過了，可一時又忘了怎么做. ”究其原因，在于學生平時沒有養成解題后反思的習慣，學過的知識沒有消化. 《數學課程標準（2011）》明確指出：“通過義務教育階段的數學學習學生能初步形成評價與反思的意識，養成認真勤奮、獨立思考、合作交流、反思質疑等學習習慣. ”因此，教師不能只關注課堂教學及作業的結果，更應重視過程、關注學生如何思考問題，讓學生形成良好的學習習慣. 本文就中學數學教學中如何培養學生解題后反思的習慣，結合筆者多年的教學實踐，談一談自己的體會，拋磚引玉，不當之處，希望各位同仁批評指正.

一、反思錯解原因，對癥下藥

學生解題所犯錯誤通常體現在：① 審題不清；② 概念理解錯誤；③ 運算粗心大意；④ 沒有聯系實際，等等. 解題后如能及時思考造成錯誤的原因，往往能找到“病根”，進而對癥下藥，從而收到事半功倍的效果.

例1 下列關于x的方程：① ax2 + bx + c = 0， ② x2 - 3x + 2y = 0，③ 2x2 - 2x - 3 = 0，④ x2 + x3 = 2中，一元二次方程的個數是（ ）.

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

錯解 選B.

反思 本題的錯誤是忽視了一元二次方程的二次項系數不能為0，當a = 0時，① 是關于x的一元一次方程. 故此題的正確答案為A. 通過本題的反思，學生明確 “a ≠ 0”是一元二次方程的一個重要組成部分，加深對一元二次方程的概念的理解.

例2 在△ABC中，AB = 15 cm，AC = 13 cm，AD為BC邊上的高，且AD = 12 cm，則△ABC的面積為__________.

錯解 84 cm2.

反思 由于本題中△ABC的形狀無法確定，所以本題要分類討論. 第一種是△ABC為銳角三角形，此時其面積為84 cm2；第二種是△ABC為鈍角三角形，此時其面積為24 cm2. 而本題導致錯誤的原因是學生沒考慮第二種情況，這是由于受習慣思維的影響，考慮問題不周到所致.

二、反思一題多解，拓展思路

有時同一道題目，從不同的角度去分析研究，可以得到不同的啟迪，因而會有多種解法. 因此，解完一題后，不應只滿足于已得到的答案，要多從不同的角度和途徑尋求新解法，尋找最佳的解決方案，加深對知識的理解.

例3 如圖，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，CD⊥AB于D，AC = 3，BC = 4，求CD的長.

解法一 在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB = ■ = 5.

設AD = x，則BD = 5 - x.由AC2 - AD2 = BC2 - BD2得：32 - x2 = 42 - （5 - x）2，解得：x = ■，即AD = ■.在Rt△ADC中， 由勾股定理得：CD = ■ = ■.

解法二 易知AB = 5. 在Rt△ABC中，sin∠A = ■ = ■. 在Rt△ADC中，sin∠A = ■ = ■.

∴ ■ = ■，∴ CD = ■.

解法三 易知AB = 5. ∵∠ADC = ∠ACB = 90°，∠A = ∠A，∴ ADC∽ACB，∴ ■ = ■，∴ ■ = ■，∴ CD = ■.

解法四 易知AB = 5. ∵ SRt△ABC = ■AC·BC = ■AB·CD，

∴ 3 × 4 = 5 × CD，∴ CD = ■.

反思 以上解法分別運用了列方程法、三角函數法、三角形相似法和等面積法四種初中階段非常重要的方法. 通過用不同的方法解答，不僅能開拓學生解題思路，鞏固所學知識，而且能激發學生學習數學的興趣和熱情，從而培養學生的創新精神和創造力

三、反思題目變式，彰顯能力

對于有些題目，教師還可引導學生多角度、多方位地變換題中的條件或問題，進行變式拓展，這樣既可加深學生對某類問題結構和特征的理解，又有利于培養學生分析問題和解決問題的能力.

例4 如圖1，把△ABC的紙片沿著DE折疊，使點A′正好落在線段AC上，此時∠A與∠BDA′有怎樣的關系. 為什么？

變式1 如果紙片沿DE折疊，使點A′落在四邊形BCED的內部（如圖2），則∠A和∠BDA′，∠CEA′有怎樣的關系？請說明理由.

變式2 如果紙片沿DE折疊，使點A′落在四邊形BCED的外部（如圖3），則此時∠A和∠BDA′，∠CEA′的關系怎樣. 請說明理由.

反思 由于折痕DE的位置不同形成了三個圖形結構的變式題，結論也發生變化. 但無論圖形怎樣變化，證明的方法及思路基本不變，均要用到折疊的性質及三角形的外角性質. 通過反思變式題，培養學生勤于觀察，善于比較，提煉方法的習慣，大大提高了學生的思維能力和解題能力.

四、反思多題一解，觸類旁通

例5 已知x，y滿足方程組x + 3y = 5，3x + y = -1，則x - y = ______ .

例6 已知方程組2x + y = 2a + 1，x + 2y = 2a，則x - y的值是（ ）.

A. 1 B. a C. -1 D. 2a

例7 方程組3x + 2y = m + 2，2x + 3y = m的解適合x + y = 8，則m = .

反思 觀察上面三題，不難發現每個方程組中的系數都具有輪換的特點. 這類方程組可以通過將方程組中的兩個方程相加或相減的方法來解，比用常規解法直接解x，y要簡便得多. 通過對同類問題的反思，使學生找到解答同類問題的規律，能迅速找到解題的切入點，這樣既提高解題的速度和準確性，還能培養學生的分析概括思維能力.

五、反思題中蘊含的數學思想，優化思維

例8 代數式x2 + x + 3的值為7，則代數式2x2 + 2x - 3的值為多少？（七年級上）

分析 由于七年級學生還沒學一元二次方程，所以該題顯然不能用解一元二次方程的方法解答，必須另辟蹊徑. 事實上先將2x2 + 2x - 3化成2（x2 + x + 3） - 9，然后將x2 + x + 3的值整體代入即可得解.

反思 對于某些數學問題，不能著眼于它的局部特征，而是要把注意力放在對象的整體結構上，從整體上認識問題，把所研究對象的一部分或全部視作一個整體運用. 通過反思讓學生認識到在處理某些數學問題時，用整體思想會既巧妙又簡便.

例9 實數a，b在數軸上的位置如圖所示：

化簡：|a + b| + ■ = _______.

解 由圖可知a + b < 0，b - a > 0.

∴原式 = -a - b + b - a = -2a.

反思 解決本題的關鍵是確定a + b和b - a的符號，觀察數軸即知. 著名數學家華羅庚曾說過：“數離開形，缺直觀；形離開數，難入微. ” 在實際問題中巧妙地把數形結合起來，能使一些較棘手的問題迎刃而解.

初中數學中蘊含的數學思想方法很多，其中最基本、最主要的有：整體思想、轉化思想、數形結合思想、分類討論思想和模型思想，等等. 學生解完題后，要養成反思這道題滲透了哪些數學思想方法，有什么規律，這樣有助于培養學生的解題技巧，實現能力的正向遷移.

總之，解題后的反思可以加強新舊知識的聯系，促進知識的完善和運用；可以拓寬思路，優化解法，完善思維過程. 反思對學生來說是一種積極的探索活動，是一個優化思維品質、自我完善，自我超越的過程，體現了個性化的創新精神. 教師在平時的教學活動中要培養學生解題后反思的習慣，讓學生的思維能力得到提升.